Proprietà riscalamento trasformata di fourier - Dimostrazione?
Ciao!
Non riesco a capire la dimostrazione di una proprietà della trasformata di Fourier.
Sia $f in L^1 (RR^n)$
$hat(f(x)) (xi)= int_(RR^n) e^(-2pi i) f(x) dx$
Data una costante $lambda in RR$, devo dimostrare che
$hat(f(lambdax)) (xi)= lambda^(-n) hat(f(x))(xi/lambda)$
Usando semplicemente la definizione
$hat(f(lambdax)) (xi)= int_(RR^n) e^(-2pi i) f(lambdax) dx$
Facendo il cambio di variabile $y=lambdax$ e considerando la matrice jacobiana $J$
$J= [ ( lambda , 0 , ... , ... , 0 ),( 0 , lambda , ... , ... , 0 ),( ... , ... , ... , ... , ... ),( ... , ... , ... , ... , ... ),( 0 , 0 , ... , ... , lambda ) ] $
$|det (J)|= lambda^n$
Da cui
$hat(f(lambdax)) (xi)= int_(RR^n) e^(-2pi i) f(y) lambda^n dy = lambda^(n) hat(f(x))(xi/lambda)$
Perché io ottengo $lambda^n$ anziché $lambda^(-n)$ ?
Ho sbagliato forse a scrivere la matrice jacobiana? Cosa sbaglio?
Non riesco a capire la dimostrazione di una proprietà della trasformata di Fourier.
Sia $f in L^1 (RR^n)$
$hat(f(x)) (xi)= int_(RR^n) e^(-2pi i
Data una costante $lambda in RR$, devo dimostrare che
$hat(f(lambdax)) (xi)= lambda^(-n) hat(f(x))(xi/lambda)$
Usando semplicemente la definizione
$hat(f(lambdax)) (xi)= int_(RR^n) e^(-2pi i
Facendo il cambio di variabile $y=lambdax$ e considerando la matrice jacobiana $J$
$J= [ ( lambda , 0 , ... , ... , 0 ),( 0 , lambda , ... , ... , 0 ),( ... , ... , ... , ... , ... ),( ... , ... , ... , ... , ... ),( 0 , 0 , ... , ... , lambda ) ] $
$|det (J)|= lambda^n$
Da cui
$hat(f(lambdax)) (xi)= int_(RR^n) e^(-2pi i
Perché io ottengo $lambda^n$ anziché $lambda^(-n)$ ?
Ho sbagliato forse a scrivere la matrice jacobiana? Cosa sbaglio?
Risposte
Ciao! Sì, l'errore dovrebbe essere nel determinante della matrice jacobiana: se, da come sembra, lo calcoli così (ossia calcolando direttamente le derivate parziali rispetto a $x_i$ a partire dalla sostituzione $y=\lambda x$) ottieni il determinante dell'inversa della jacobiana, motivo per il quale hai $n$ e non $-n$ all'esponente; hai ottenuto il reciproco del determinante che ti interessa.
Normalmente dovresti isolare $x$, ottenendo $x=\frac{1}{\lambda}y$; a questo punto derivi rispetto a $y_i$ e ottieni proprio $\det J$ e torna tutto con $\lambda^{-n}$ come ti aspettavi (perché ora hai tutti $\frac{1}{\lambda}$ sulla diagonale principale).
Per convincertene, pensa alla "classica" sostituzione negli integrali doppi $(u,v)=(x+y,x-y)$: fatta questa sostituzione, per calcolare il determinante della matrice jacobiana procedevi esplicitando $x$ e $y$ in funzione di $u$ e $v$ e successivamente calcolando $x_u,x_v,y_u$ e $y_v$, con $x_u,x_v$ e $y_u,y_v$ elementi delle righe della matrice jacobiana. Qui mi sembra che tu abbia fatto il contrario, ossia derivato subito e calcolato il determinante in funzione delle $x_i$ . Così appunto stai calcolando il determinante dell'inversa, correggimi se sbaglio nell'interpretare il tuo procedimento.
Comunque ti sei perso il modulo nel determinante, hai detto che $\lambda \in \mathbb{R}$ (devi escludere $\lambda =0$, hai un $\lambda$ presente in un denominatore!) e quindi quando consideri il modulo del determinante jacobiano non lo puoi omettere se non sei sicuro che $\lambda > 0$: la formula corretta ha come fattore moltiplicativo $\frac{1}{|\lambda|^n}$ (con $\lambda \ne 0$).
Normalmente dovresti isolare $x$, ottenendo $x=\frac{1}{\lambda}y$; a questo punto derivi rispetto a $y_i$ e ottieni proprio $\det J$ e torna tutto con $\lambda^{-n}$ come ti aspettavi (perché ora hai tutti $\frac{1}{\lambda}$ sulla diagonale principale).
Per convincertene, pensa alla "classica" sostituzione negli integrali doppi $(u,v)=(x+y,x-y)$: fatta questa sostituzione, per calcolare il determinante della matrice jacobiana procedevi esplicitando $x$ e $y$ in funzione di $u$ e $v$ e successivamente calcolando $x_u,x_v,y_u$ e $y_v$, con $x_u,x_v$ e $y_u,y_v$ elementi delle righe della matrice jacobiana. Qui mi sembra che tu abbia fatto il contrario, ossia derivato subito e calcolato il determinante in funzione delle $x_i$ . Così appunto stai calcolando il determinante dell'inversa, correggimi se sbaglio nell'interpretare il tuo procedimento.
Comunque ti sei perso il modulo nel determinante, hai detto che $\lambda \in \mathbb{R}$ (devi escludere $\lambda =0$, hai un $\lambda$ presente in un denominatore!) e quindi quando consideri il modulo del determinante jacobiano non lo puoi omettere se non sei sicuro che $\lambda > 0$: la formula corretta ha come fattore moltiplicativo $\frac{1}{|\lambda|^n}$ (con $\lambda \ne 0$).
Sei stato chiarissimo Mephlip, ti ringrazio!!!
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