Proprietà di campionamento della delta di Dirac
Data proprietà di campionamento della delta di Dirac
$ int_(-∞)^(∞) δ(x−a)f(x)dx=f(a) $
ovvero data una funzione f(x), per ricavare il valore che assume per x=a moltiplico la funzione per l'impulso centrato in a e integro sul volume.
Qualcuno sa dirmi come fa il mio professore di campi ad utilizzarla nel seguente modo?
$ int_(-∞)^(∞) δ(x−a)f(a)dx=f(x) $
ovvero la funzione f(x) si ricava dal valore che assume in x=a.
Qualcuno può aiutarmi?
$ int_(-∞)^(∞) δ(x−a)f(x)dx=f(a) $
ovvero data una funzione f(x), per ricavare il valore che assume per x=a moltiplico la funzione per l'impulso centrato in a e integro sul volume.
Qualcuno sa dirmi come fa il mio professore di campi ad utilizzarla nel seguente modo?
$ int_(-∞)^(∞) δ(x−a)f(a)dx=f(x) $
ovvero la funzione f(x) si ricava dal valore che assume in x=a.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Probabilmente il secondo integrale è in $text(d)a$.
"gugo82":
Probabilmente il secondo integrale è in $text(d)a$.
in effetti sì, in realtà l'integrale scritto dal professore è:
$ f(bar(r))=int int int_(V∞)^() δ(bar(r) −bar(r'))f(bar(r'))dbar(V') $
ma continuo a non capire.
C’è poco da capire: la $delta$ (in qualsiasi dimensione) campiona lì dove si annulla il suo argomento.
"gugo82":
C’è poco da capire: la $delta$ (in qualsiasi dimensione) campiona lì dove si annulla il suo argomento.
$ f(bar(r))=int int int_(V∞)^() δ(bar(r) −bar(r'))f(bar(r'))dV' $
Spiego meglio il mio dubbio:
Io ho una funzione nello spazio tridimensionale che è funzione di $ bar(r) $, che chiamo $ f(bar(r)) $. Di questa conosco il valore in $ bar(r') $, che chiamo $ f(bar(r')) $. Come posso ricavare dal valore della funzione in un singolo $ bar(r') $ tutti i valori $ f(bar(r)) $ che questa assume su tutti gli $ bar(r) $ ? Per come la vedo io è come se stessi applicando il campionamento "al contrario", in quanto di norma io parto dall'espressione della $ f(bar(r)) $ e tramite un impulso centrato in $ bar(r') $ ricavo $ f(bar(r')) $ .
Semplicemente sbagli a leggere la formula.
La proprietà di campionamento ti dice che puoi individuare un valore puntuale di una funzione (nota già in tutti i punti) integrandola contro la delta: questo è il significato di:
\[
f(x_0)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \delta (x - x_0)\ \text{d} x
\]
e di formule affini (tipo la tua, \( f(x_0)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \delta (x_0 - x)\ \text{d} x\), in cui il segno dell’argomento di $delta$ è cambiato).
Per quanto riguarda il nome della variabile, è ovviamente un falso problema: mi spieghi quale sarebbe, secondo te, la differenza tra le scritture:
\[
f(x_0)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \delta (x - x_0)\ \text{d} x \qquad \text{e}\qquad
f(x)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x_0)\ \delta (x - x_0)\ \text{d} x_0\ ?
\]
La proprietà di campionamento ti dice che puoi individuare un valore puntuale di una funzione (nota già in tutti i punti) integrandola contro la delta: questo è il significato di:
\[
f(x_0)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \delta (x - x_0)\ \text{d} x
\]
e di formule affini (tipo la tua, \( f(x_0)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \delta (x_0 - x)\ \text{d} x\), in cui il segno dell’argomento di $delta$ è cambiato).
Per quanto riguarda il nome della variabile, è ovviamente un falso problema: mi spieghi quale sarebbe, secondo te, la differenza tra le scritture:
\[
f(x_0)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \delta (x - x_0)\ \text{d} x \qquad \text{e}\qquad
f(x)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x_0)\ \delta (x - x_0)\ \text{d} x_0\ ?
\]
$ f(x_0)=int_(−∞)^(+∞) f(x)\ \delta (x - x_0) dx $
data la funzione $ f(x) $ , il prodotto con la delta centrata in $ x_0 $ mi "becca" solo il valore $ f(x_0) $ , in quanto la delta $ delta (x - x_0) $ vale zero per ogni x tranne che in $ x_0 $.
Viceversa per
$ f(x)=int_(−∞)^(+∞) f(x_0)\ \delta (x - x_0) dx_0 $
sto moltiplicando il valore che la f assume in $ x_0 $ per la $ delta (x - x_0) $ che preleva il valore della funzione (in questo caso $ f(x_0) $ ) solo nel punto in cui la delta è centrata, e quindi in $ x_0 $. Come può questo darmi il valore della f in tutte le x?
data la funzione $ f(x) $ , il prodotto con la delta centrata in $ x_0 $ mi "becca" solo il valore $ f(x_0) $ , in quanto la delta $ delta (x - x_0) $ vale zero per ogni x tranne che in $ x_0 $.
Viceversa per
$ f(x)=int_(−∞)^(+∞) f(x_0)\ \delta (x - x_0) dx_0 $
sto moltiplicando il valore che la f assume in $ x_0 $ per la $ delta (x - x_0) $ che preleva il valore della funzione (in questo caso $ f(x_0) $ ) solo nel punto in cui la delta è centrata, e quindi in $ x_0 $. Come può questo darmi il valore della f in tutte le x?
Se leggessi attentamente la formula ti accorgeresti che il valore di $x_0$ in $ f(x)=int_(−oo)^(+oo) f(x_0)\ \delta (x - x_0) dx_0 $ è tutto meno che fissato.
Infatti $x_0$ è la variabile di integrazione…
Infatti $x_0$ è la variabile di integrazione…
"gugo82":
Se leggessi attentamente la formula ti accorgeresti che il valore di $x_0$ in $ f(x)=int_(−oo)^(+oo) f(x_0)\ \delta (x - x_0) dx_0 $ è tutto meno che fissato.
Infatti $x_0$ è la variabile di integrazione…
Scusa per l'insistenza, ma ci tengo a capire bene. Se quindi $x_0$ è la variabile, la delta non dovrebbe essere centrata in x? del tipo:
$ f(x)=int_(−oo)^(+oo) f(x_0)\ \delta (x_0 - x) dx_0 $
in questo modo è come se avessi una funzione di $x_0$ e la campionassi per ogni $x$, restituendomi tutti i valori di $f(x)$. Le due scritture non mi sembrano analoghe.
La variabile di integrazione è muta (Analisi I), cioè:
\[
\int_a^b \phi(t)\ \text{d} t = \int_a^b \phi(x)\ \text{d} x = \int_a^b \phi(\text{Pippo})\ \text{d Pippo} = \cdots
\]
perché l’integrale dipende solo dagli estremi e dalla funzione integranda.
Inoltre, non importa se hai $delta (text(Pippo) - text(Pluto))$ o $delta( text(Pluto) - text(Pippo))$: la delta campiona comunque lì dove il suo argomento si annulla, cioè lì dove $text(Pippo)=text(Pluto)$.
\[
\int_a^b \phi(t)\ \text{d} t = \int_a^b \phi(x)\ \text{d} x = \int_a^b \phi(\text{Pippo})\ \text{d Pippo} = \cdots
\]
perché l’integrale dipende solo dagli estremi e dalla funzione integranda.
Inoltre, non importa se hai $delta (text(Pippo) - text(Pluto))$ o $delta( text(Pluto) - text(Pippo))$: la delta campiona comunque lì dove il suo argomento si annulla, cioè lì dove $text(Pippo)=text(Pluto)$.
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