Proprietà dell'equazione di Schrodinger in una dimensione
Buon giorno, potrei avere delle dimostrazioni il più possibile concise dei seguenti fatti?
1). Gli autovalori continui dell'operatore hamiltoniano soddisfano E>Vmin, dove Vmin é il minimo del potenziale. Ho la dimostrazione per autovalori discreti. Ma la vorrei generalizzare per autovalori continui.
2) per energie sufficientemente basse (ho letto per E minore del limite di V all'infinito, ma va bene se si pone una condizione più stretta, purché la dimostrazione sia stringata) gli autovalori dell'energia sono discreti (sono in presenza di un potenziale che può fare quel che gli pare).
PS. Non per lusingarvi, ma se queste cose le chiedo ai matematici, c'è un motivo.
1). Gli autovalori continui dell'operatore hamiltoniano soddisfano E>Vmin, dove Vmin é il minimo del potenziale. Ho la dimostrazione per autovalori discreti. Ma la vorrei generalizzare per autovalori continui.
2) per energie sufficientemente basse (ho letto per E minore del limite di V all'infinito, ma va bene se si pone una condizione più stretta, purché la dimostrazione sia stringata) gli autovalori dell'energia sono discreti (sono in presenza di un potenziale che può fare quel che gli pare).
PS. Non per lusingarvi, ma se queste cose le chiedo ai matematici, c'è un motivo.
Risposte
Gradisce anche un litro di sangue della casa, signore? Ottima annata, se posso.
Si, però solo se è sangue arterioso, quello venoso è povero di ossigeno e potrebbe far male alla salute.
Scherzi a parte, scusate se sono sembrato un pò esigente, ma queste dimostrazioni sono praticamente incomprensibili se lette nella maggior parte dei testi di meccanica quantistica (per esempio fanno delle restrizioni immotivate sulle funzioni d'onda, oppure vengono fatti degli argomenti strani o alla buona...).
Le dimostrazioni le ho cercate praticamente ovunque, ma non sono riuscito a trovarne una che mi soddisfi (nel senso, che non richieda decine di pagine per metterle nei miei appunti di meccanica quantistica, oppure che in qualche modo non nasconda delle "trappole per topi").
Anzi, con estremo dolore, mi sento costretto ad aggiungere
3). Teorema di oscillazione per funzioni d'onda unidimensionali:
L'n-esimo stato discreto contiene esattamente n zeri.
Se volete di quest'ultima vi trascrivo il passaggio della dimostrazione che non mi funziona...
Della domanda 1), viene assunto che tutti gli autovalori dell'energia sono discreti, e non mi piace (a meno che non mi venga dimostrato, potrei avere degli autovalori continui minori del minimo del potenziale...)
Scherzi a parte, scusate se sono sembrato un pò esigente, ma queste dimostrazioni sono praticamente incomprensibili se lette nella maggior parte dei testi di meccanica quantistica (per esempio fanno delle restrizioni immotivate sulle funzioni d'onda, oppure vengono fatti degli argomenti strani o alla buona...).
Le dimostrazioni le ho cercate praticamente ovunque, ma non sono riuscito a trovarne una che mi soddisfi (nel senso, che non richieda decine di pagine per metterle nei miei appunti di meccanica quantistica, oppure che in qualche modo non nasconda delle "trappole per topi").
Anzi, con estremo dolore, mi sento costretto ad aggiungere
3). Teorema di oscillazione per funzioni d'onda unidimensionali:
L'n-esimo stato discreto contiene esattamente n zeri.
Se volete di quest'ultima vi trascrivo il passaggio della dimostrazione che non mi funziona...
Della domanda 1), viene assunto che tutti gli autovalori dell'energia sono discreti, e non mi piace (a meno che non mi venga dimostrato, potrei avere degli autovalori continui minori del minimo del potenziale...)
In tal caso temo che ti toccherà scrivere le equazioni, le ipotesi e tutto ciò che già hai/sai sui due punti che hai elencato, fare tutti i passaggi e mostrare cosa non ti convince.
Allora...cominciamo dall'inizio.
Voglio studiare questa equazione
$-C\psi''+V(x)\psi = E\psi$.
Su V(x) non ho ipotesi
Su $\psi$ so che è continua.
Domanda 1: E' vero che ogni autovalore di $H = -Cd^2/(dx^2)+V(x)$ deve soddisfare $E>V_{min}$?
Si se $\psi$ è un autostato discreto: infatti se così è, $\psi$ è normalizzata, per cui posso scrivere
$E= <\psi| H\psi> = ||p\psi||^2 +<\psi | V(x) |\psi>$. p è l'operatore impulso, sarebbe $p= -i\sqrt(C) d/(dx)$.
Poichè il primo pezzo è positivo e il secondo è la media di V sullo stato $\psi$, posso minorare tutto con $V_{min}$ e ho la tesi.
La mia perplessità però è: e se gli autovalori sono continui? In generale $\psi$ non è piàù normalizzata, bensì
$<\psi_E|\psi_E'> = \delta(E-E')$.
In questo caso non capisco come si potrebbe generalizzare il ragionamento sopra...
Se c'è il modo di mostrarlo per autovalori continui anche in altri modi, andrebbe bene lo stesso...
Voglio studiare questa equazione
$-C\psi''+V(x)\psi = E\psi$.
Su V(x) non ho ipotesi
Su $\psi$ so che è continua.
Domanda 1: E' vero che ogni autovalore di $H = -Cd^2/(dx^2)+V(x)$ deve soddisfare $E>V_{min}$?
Si se $\psi$ è un autostato discreto: infatti se così è, $\psi$ è normalizzata, per cui posso scrivere
$E= <\psi| H\psi> = ||p\psi||^2 +<\psi | V(x) |\psi>$. p è l'operatore impulso, sarebbe $p= -i\sqrt(C) d/(dx)$.
Poichè il primo pezzo è positivo e il secondo è la media di V sullo stato $\psi$, posso minorare tutto con $V_{min}$ e ho la tesi.
La mia perplessità però è: e se gli autovalori sono continui? In generale $\psi$ non è piàù normalizzata, bensì
$<\psi_E|\psi_E'> = \delta(E-E')$.
In questo caso non capisco come si potrebbe generalizzare il ragionamento sopra...
Se c'è il modo di mostrarlo per autovalori continui anche in altri modi, andrebbe bene lo stesso...
up
Che senso ha richiamare l'attenzione su una discussione che è già in cima alla lista? Tra l'altro, il regolamento dice chiaramente che bisogna aspettare un certo tempo.
@ newton_1372: Questa non è Matematica da tutti i giorni, ma roba per specialisti.
Quindi, hai provato a consultare qualche testo in proposito? Ad esempio, Berezin & Shubin, The Schroedinger Equation, cap. 2?
Le proprietà che chiedi si basano, a quanto mi pare di capire, sulla caratterizzazione variazionale degli autovalori dell'operatore... Tuttavia non è un discorso che si può approntare in una mezz'ora.
Quindi, hai provato a consultare qualche testo in proposito? Ad esempio, Berezin & Shubin, The Schroedinger Equation, cap. 2?
Le proprietà che chiedi si basano, a quanto mi pare di capire, sulla caratterizzazione variazionale degli autovalori dell'operatore... Tuttavia non è un discorso che si può approntare in una mezz'ora.
Ma tanto per mettermi l'animo in pace, le cose che chiedo sono vere?
E che ne so! 
Prendi un libro e studia.
Prendi un libro e studia.
Mi hai consigliato un libro della Madonna.
Parete grande, pennello grande... (cit.)
In ogni caso nel mio libro di quantistica c'è una dimostrazione che non mi torna sul teorema di oscillazione..se la posto difensivi cosa non mi torna mi sareste un "calcio in beep"?
Ovviamente no, bring it on! Però in un'altra discussione se è su un altro argomento.
Nel mio libro ho trovato questa "dimostrazione" del teorema di oscillazione.
TEOREMA. Gli stati legati hanno n-1 zeri
La dimostrazione fa uso dei fatti seguenti:
LEMMI: Per ogni x sono possibili solo i seguenti casi (si vede da $-C\psi''=(E-V(x))\psi$
1). $E-V(x)>0$. Allora $\psi''$ e $\psi$ hanno segno discorde., quindi per $\psi$ positivi la concavità è verso il basso, altrimenti la concavità è verso il basso. Perciò ho un andamento oscillatorio.
2). $E-V(x)<0$. Allora $\psi''$ e $\psi$ hanno lo stesso segno, quindi ho un andamento instabile.
3). Ricordiamo, per ogni evenienza, che $\psi$ è continua.
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA (Trascrivo integralmente)
Supponiamno che $V(x)\to \infty$ a $x\to\pm\infty$, di modo che il sistema abbia solo livelli discreti (PERCHE'?)
Cerchiamo soluzioni normalizzabili quindi per x che va a -infinito la psi deve tendere a 0.
Senza perdita di generalitàà si può assumore che $\psi$ sia positiva $x<0$ e $|x|$ molto grande (PERCHÈ? Potrei avere $\psi$ negativa...)
Partiamo con un valore di energia $E<\min(V)$ e studiamo come cambia la situazione al crescere di E (dubito sui PERCHE' SCRITTI SOPRA, ma da qui in avanti li dò per buoni).
1). Se $E0$ continua a crescere all'infinito perchè la concavità è sempre verso l'alto. (OK).
2). Se E è appena maggiore del minimo di v, ma inferiore al primo autovalore $E_1$, Sia $[x1,x2]$ l'intervallo in cui $E-V$ è positivo.. Negli altri intervalli $E-V$ è negativo (questo già mi piace poco perchè escludo potenziali oscillanti o che hanno andamenti più generali. Ma vabbè).Comunque psi è positivo e cresce fino a raggiongere il punto $x1$, dopo di chè la concavità cambia e la pendenza decresce fino a $x_2$. E' ovvio che che fino a un certo valore E (appunto, $E_1$) $\psi$ continua a divergere fino a infinito e rimane non normalizzabile. OK). Lo interpreto dicendo che a $E_1$ lo stato deve essere normalizzato quindi deve andare a zero.).
3). $E=E_1$. All'aumentare di E l'intervallo $[x_1,x_2]$ e la curvatura per x fissato aumenta. Per continuità ci deve essere un primo valore di E, diciamo $E_1$, per il quale $\psi$ tende esattamente a 0.
Qui ho da protestare. E' vero che $[x1,x2]$ diventa via via più grande, ma non ho informazioni circa la derivata prima di $\psi$, so solo che lì la concavità è verso il basso, e quindi la pendenza deve descrescere...per quel che mi riguarda, aumentando E potrei sempre avere una "collina" più larga....
L'argomentazione prosegue per energie via via più alte, ma come faccio a sapere che la pendenza della curva a un fissato x e a un fissato E, diminuisce per E più grandi?
Tra l'altro, non è certo detto che E sia un autostato dell'Hamiltoniana...quindi non avrebbe senso fare questo lavoro di "innalzamento continuo" di E e studiare una $\psi$ che (eventualmente) non esiste (ma se esiste deve avere questo andamento)....Non capisco proprio quello che sta facendo...
TEOREMA. Gli stati legati hanno n-1 zeri
La dimostrazione fa uso dei fatti seguenti:
LEMMI: Per ogni x sono possibili solo i seguenti casi (si vede da $-C\psi''=(E-V(x))\psi$
1). $E-V(x)>0$. Allora $\psi''$ e $\psi$ hanno segno discorde., quindi per $\psi$ positivi la concavità è verso il basso, altrimenti la concavità è verso il basso. Perciò ho un andamento oscillatorio.
2). $E-V(x)<0$. Allora $\psi''$ e $\psi$ hanno lo stesso segno, quindi ho un andamento instabile.
3). Ricordiamo, per ogni evenienza, che $\psi$ è continua.
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA (Trascrivo integralmente)
Supponiamno che $V(x)\to \infty$ a $x\to\pm\infty$, di modo che il sistema abbia solo livelli discreti (PERCHE'?)
Cerchiamo soluzioni normalizzabili quindi per x che va a -infinito la psi deve tendere a 0.
Senza perdita di generalitàà si può assumore che $\psi$ sia positiva $x<0$ e $|x|$ molto grande (PERCHÈ? Potrei avere $\psi$ negativa...)
Partiamo con un valore di energia $E<\min(V)$ e studiamo come cambia la situazione al crescere di E (dubito sui PERCHE' SCRITTI SOPRA, ma da qui in avanti li dò per buoni).
1). Se $E
2). Se E è appena maggiore del minimo di v, ma inferiore al primo autovalore $E_1$, Sia $[x1,x2]$ l'intervallo in cui $E-V$ è positivo.. Negli altri intervalli $E-V$ è negativo (questo già mi piace poco perchè escludo potenziali oscillanti o che hanno andamenti più generali. Ma vabbè).Comunque psi è positivo e cresce fino a raggiongere il punto $x1$, dopo di chè la concavità cambia e la pendenza decresce fino a $x_2$. E' ovvio che che fino a un certo valore E (appunto, $E_1$) $\psi$ continua a divergere fino a infinito e rimane non normalizzabile. OK). Lo interpreto dicendo che a $E_1$ lo stato deve essere normalizzato quindi deve andare a zero.).
3). $E=E_1$. All'aumentare di E l'intervallo $[x_1,x_2]$ e la curvatura per x fissato aumenta. Per continuità ci deve essere un primo valore di E, diciamo $E_1$, per il quale $\psi$ tende esattamente a 0.
Qui ho da protestare. E' vero che $[x1,x2]$ diventa via via più grande, ma non ho informazioni circa la derivata prima di $\psi$, so solo che lì la concavità è verso il basso, e quindi la pendenza deve descrescere...per quel che mi riguarda, aumentando E potrei sempre avere una "collina" più larga....
L'argomentazione prosegue per energie via via più alte, ma come faccio a sapere che la pendenza della curva a un fissato x e a un fissato E, diminuisce per E più grandi?
Tra l'altro, non è certo detto che E sia un autostato dell'Hamiltoniana...quindi non avrebbe senso fare questo lavoro di "innalzamento continuo" di E e studiare una $\psi$ che (eventualmente) non esiste (ma se esiste deve avere questo andamento)....Non capisco proprio quello che sta facendo...
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