Proprietà della delta di Dirac
Buonasera,
vorrei provare la seguente proprietà: $ delta (ax)=1/| a| delta(x) $
se faccio l'integrale $ int_(-oo )^(+oo) f(x) delta (ax)dx $ e il cambio variabile $ xrarr y/a $
ottengo $ int_(-oo )^(+oo) f(y/a) delta (y)1/ady=1/adelta (y) $
quindi $ int_(-oo )^(+oo) f(x) delta (ax)dx=1/adelta (xa) $
Posso dire allora di aver dimostrato che $ delta (ax)=1/adelta (xa);a>0 $ oppure no?
Per quanto riguarda il valore assoluto di a, non riesco proprio a capire da dove salta fuori.
Grazie del vostro tempo.
vorrei provare la seguente proprietà: $ delta (ax)=1/| a| delta(x) $
se faccio l'integrale $ int_(-oo )^(+oo) f(x) delta (ax)dx $ e il cambio variabile $ xrarr y/a $
ottengo $ int_(-oo )^(+oo) f(y/a) delta (y)1/ady=1/adelta (y) $
quindi $ int_(-oo )^(+oo) f(x) delta (ax)dx=1/adelta (xa) $
Posso dire allora di aver dimostrato che $ delta (ax)=1/adelta (xa);a>0 $ oppure no?
Per quanto riguarda il valore assoluto di a, non riesco proprio a capire da dove salta fuori.
Grazie del vostro tempo.
Risposte
Ciao cla29,
Attenzione che c'è un errore, hai dimostrato che $ \delta(ax)=1/a \delta(x) $ per $ a>0 $
Se $a < 0 $ invece si ha:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(ax) \text{d}x = 1/a \int_{+\infty}^{-\infty} \delta(y) f(y/a) \text{d}y = - 1/a \int_{-\infty}^{+\infty} f(y/a) \delta(y) \text{d}y = 1/(- a) \int_{-\infty}^{+\infty} f(y/a) \delta(y) \text{d}y $
Riassumendo si ha proprio $\delta(ax) = 1/|a| \delta(x) $
"cla29":
Posso dire allora di aver dimostrato che $\delta(ax)=1/a\delta(xa);a>0 $ oppure no?
Attenzione che c'è un errore, hai dimostrato che $ \delta(ax)=1/a \delta(x) $ per $ a>0 $
Se $a < 0 $ invece si ha:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(ax) \text{d}x = 1/a \int_{+\infty}^{-\infty} \delta(y) f(y/a) \text{d}y = - 1/a \int_{-\infty}^{+\infty} f(y/a) \delta(y) \text{d}y = 1/(- a) \int_{-\infty}^{+\infty} f(y/a) \delta(y) \text{d}y $
Riassumendo si ha proprio $\delta(ax) = 1/|a| \delta(x) $
Gentilissimo, non ho ben capito. O forse perché la delta non restituisce valori negativi?
"cla29":
non ho ben capito.
Scusa, ma cosa non hai capito?
Dovrebbe esserti chiaro che si ha:
$|a| = {(a \text{ se } a > 0),(- a \text{ se } a < 0):} $
Il caso $a > 0 $ l'hai già dimostrato tu, il caso $a < 0 $ te l'ho dimostrato: mettendo insieme le due dimostrazioni...
Ciao,
quello che non ho capito è perché` bisogna prendere il valore assoluto ed escludere i risultati negativi.
quello che non ho capito è perché` bisogna prendere il valore assoluto ed escludere i risultati negativi.
"cla29":
quello che non ho capito è perché bisogna prendere il valore assoluto ed escludere i risultati negativi.
Non stiamo escludendo alcun risultato... Nel caso $a > 0 $ hai dimostrato che $ \delta(ax)=1/a \delta(x) $;
nel caso $a < 0 $ ti ho dimostrato che $ \delta(ax)=1/(- a) \delta(x) $.
Per compendiare i due risultati ottenuti si scrive $ \delta(ax)=1/|a|\delta(x) $
Da quest'ultima ricordando che
$ |a| = {(a \text{ se } a > 0),(- a \text{ se } a < 0):} $
si riottengono i casi $a > 0 $ e $a < 0 $ dimostrati.
ho capito, grazie tanto della tua disponibilità`!
La distribuzione di Dirac non è una distribuzione funzione, quindi non è corretto considerarne l'integrale. Infatti è così definita:
$ = phi(0) , AA phiin D $
$
Infatti, ma la notazione è molto comoda, quindi ingegneri e fisici la usano spesso.
Ad ogni buon conto, una dimostrazione con il prodotto di dualità non è nemmeno tanto immediata: infatti, cosa vorrebbe dire $delta(ax)$?
Per farla in questo modo, serve approssimare la $delta$ con qualche distribuzione regolare (cosa che si può fare per noti fatti anche con distribuzioni derivanti da funzioni molto lisce). Dunque, prendiamo una successione $phi_n$ di funzioni di classe $C_c^oo(RR)$ tali che $phi_n -> delta$ nel senso delle distribuzioni, i.e. tali che:
[list=1][*:3rt40l3g] esiste un compatto $K sub RR$ tale che per ogni $n in NN$ risulti $text(supt) phi_n sube K$ (qui $text(supt)$ denota il supporto)
[/*:m:3rt40l3g]
[*:3rt40l3g] per ogni funzione test $f in C_c^oo(RR)$ risulta \(\langle f , \phi_n \rangle := \int_{\mathbb{R}} f(x) \phi_n(x) \text{d} x \to f(0) =: \langle f , \delta\rangle\).[/*:m:3rt40l3g][/list:o:3rt40l3g]
Ora, sembra sensato chiamare $delta(ax)$ la distribuzione approssimata dalle funzioni $psi_n(x) := phi_n(ax)$… Vediamo questa intuizione dove porta: chiaramente le $psi_n$ sono lisce ed a supporto compatto come le $phi_n$, perciò individuano delle distribuzioni regolari definite mediante un integrale, ed abbiamo:
$int_(RR) f(x) psi_n(x) text(d) x = int_(RR) f(x) phi_n(ax) text(d) x \stackrel{y=ax}{=} int_(RR) f(y/a) phi_n(y) 1/|a| text(d) y$
(la presenza del valore assoluto al denominatore è necessaria, in quanto se $a>0$ la sostituzione nell’integrale definito fornisce facilmente $int_(-oo)^(+oo) f(y/a) phi_n(y) 1/a text(d) y = int_(RR) f(y/a) phi_n(y) 1/|a| text(d) y$, mentre se $a<0$ si ottiene $int_(+oo)^(-oo) f(y/a) phi_n(y) 1/a text(d) y = - int_(-oo)^(+oo) f(y/a) phi_n(y) 1/a text(d) y = int_(RR) f(y/a) phi_n(y) 1/|a| text(d) y$); quindi:
\[
\langle f , \delta(a\cdot) \rangle := \lim_n \langle f ,\psi_n \rangle = \lim_n \frac{1}{|a|}\ \langle f(\frac{\cdot}{a}), \phi_n\rangle = \frac{1}{|a|} f\left(\frac{0}{a}\right) = \frac{1}{|a|} f(0) = \langle f, \frac{1}{|a|} \delta \rangle
\]
come volevamo.
D’altro canto, credo che questa proprietà di riscalamento si spieghi meglio con la trasformata di Fourier che non con la notazione del prodotto di dualità… Ma potrei sbagliarmi, visto che non tocco sta roba da una vita.
Vedete un po’ voi.
Ad ogni buon conto, una dimostrazione con il prodotto di dualità non è nemmeno tanto immediata: infatti, cosa vorrebbe dire $delta(ax)$?
Per farla in questo modo, serve approssimare la $delta$ con qualche distribuzione regolare (cosa che si può fare per noti fatti anche con distribuzioni derivanti da funzioni molto lisce). Dunque, prendiamo una successione $phi_n$ di funzioni di classe $C_c^oo(RR)$ tali che $phi_n -> delta$ nel senso delle distribuzioni, i.e. tali che:
[list=1][*:3rt40l3g] esiste un compatto $K sub RR$ tale che per ogni $n in NN$ risulti $text(supt) phi_n sube K$ (qui $text(supt)$ denota il supporto)
[/*:m:3rt40l3g]
[*:3rt40l3g] per ogni funzione test $f in C_c^oo(RR)$ risulta \(\langle f , \phi_n \rangle := \int_{\mathbb{R}} f(x) \phi_n(x) \text{d} x \to f(0) =: \langle f , \delta\rangle\).[/*:m:3rt40l3g][/list:o:3rt40l3g]
Ora, sembra sensato chiamare $delta(ax)$ la distribuzione approssimata dalle funzioni $psi_n(x) := phi_n(ax)$… Vediamo questa intuizione dove porta: chiaramente le $psi_n$ sono lisce ed a supporto compatto come le $phi_n$, perciò individuano delle distribuzioni regolari definite mediante un integrale, ed abbiamo:
$int_(RR) f(x) psi_n(x) text(d) x = int_(RR) f(x) phi_n(ax) text(d) x \stackrel{y=ax}{=} int_(RR) f(y/a) phi_n(y) 1/|a| text(d) y$
(la presenza del valore assoluto al denominatore è necessaria, in quanto se $a>0$ la sostituzione nell’integrale definito fornisce facilmente $int_(-oo)^(+oo) f(y/a) phi_n(y) 1/a text(d) y = int_(RR) f(y/a) phi_n(y) 1/|a| text(d) y$, mentre se $a<0$ si ottiene $int_(+oo)^(-oo) f(y/a) phi_n(y) 1/a text(d) y = - int_(-oo)^(+oo) f(y/a) phi_n(y) 1/a text(d) y = int_(RR) f(y/a) phi_n(y) 1/|a| text(d) y$); quindi:
\[
\langle f , \delta(a\cdot) \rangle := \lim_n \langle f ,\psi_n \rangle = \lim_n \frac{1}{|a|}\ \langle f(\frac{\cdot}{a}), \phi_n\rangle = \frac{1}{|a|} f\left(\frac{0}{a}\right) = \frac{1}{|a|} f(0) = \langle f, \frac{1}{|a|} \delta \rangle
\]
come volevamo.
D’altro canto, credo che questa proprietà di riscalamento si spieghi meglio con la trasformata di Fourier che non con la notazione del prodotto di dualità… Ma potrei sbagliarmi, visto che non tocco sta roba da una vita.
Vedete un po’ voi.
Infatti, ma la notazione è molto comoda, quindi ingegneri e fisici la usano spesso.
Si è diffusa anche in matematica pura. Io l’ho imparata sulle note di Klainerman. Sull’Appendice A di Foschi-Oliveira e Silva c’è una bella spiegazione per matematici;
https://arxiv.org/pdf/1701.06895.pdf
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo