Proposizioni sull'operatore densità

[Newton_1372]

Presi n stati indipendendi $\psi_1,\psi_2,\cdots,\psi_n$, e n "probabilità" $p_i\in [0,1]$, definisco il seguente operatore

$$\rho = \sum_i \ket{\psi_i} p_i \bra{\psi_i}$$

Mi si vuole dimostrare che quest'operatore è definito in tutto lo spazio di Hilbert. Per farlo mi fa la seguente catena di passaggi:

$$||\rho\phi||^2 = \sum_{i,j} p_i p_j (\phi,\psi_i)(\psi_i,\psi_j)(\psi_j,\phi)\leq psi_i \psi_j ||\phi||^2 = ||\phi||^2$$

Non ho ben capito cosa fa nell'ultima disuguaglianza, dice che usa il teorema di Schwarz ma moduli ne vedo pochi...mi potete far vedere come si scrive esplicitamente l'ultimo passaggio?

Inoltre,in che modo questa catena di passaggi prova che l'operatore è definito in tutto lo spazio di Hilbert?

[gugo82]

Non riesco a capire com'è definito $rho$...

[dissonance]

Sarà sicuramente la combinazione convessa (i.e., con \(\sum_i p_i=1\) ) dei proiettori ortogonali
\[
|\psi\rangle \mapsto \langle \psi_i | \psi\rangle |\psi_i\rangle.\]
(Questa almeno è la mia interpretazione del fatto che \(p_i\) sono "probabilità" e che \(|\psi_i\rangle\) sono "indipendenti"). Non capisco molto della dimostrazione dell'OP, ci saranno sicuramente errori di trascrizione perché non significa niente così com'è (per esempio, compare \(\psi_i\) in una disuguaglianza, ma \(\psi_i\) non è certo un numero). Io farei così:
\[
\| \rho(\psi)\|^2 =\sum_i p_i^2 |\langle \psi | \psi_i\rangle |^2 \le \| \psi\|^2 \sum_i p_i^2\le \|\psi\|^2.\]
L'ultima disuguaglianza segue da \(\sum p_i^2\le \sum p_i=1\).