Proiezione su un sottoinsieme di l^2

[duilio1]

Buonasera a tutti. Dopo aver dimostrato che il sottoinsieme $C=\{ x=(x_k) \in l^2(\mathbb{N}): x_0+x_1+x_2=1 \}$ è non vuoto, chiuso e convesso, devo trovare la proiezione dell'elemento $0 \in \l ^2(\mathbb{N})$. Ho quindi scritto le condizioni $P_C 0 \in C$ e $(0-P_C 0, y-P_C 0) \leq 0$ per ogni $y \in C$. Chiaramente la proiezione $P_C 0 = (\alpha, \beta, 1-\alpha-\beta, ...)$ ma non riesco a determinarla sfruttando l'arbitrarietà degli elementi di $y \in C$. Ringrazio in anticipo chi mi vorrà aiutare!

[Sk_Anonymous]

Penso tu abbia iniziato bene: essendo \( \ell^2 (\mathbb{N})\) uno spazio di Banach riflessivo (anzi, e' addirittura uno spazio di Hilbert), il problema della proiezione metrica su un chiuso, convesso e non vuoto ha soluzione. La caratterizzazione della proiezione che hai utilizzato, pero', credo non sia molto utile per ottenere un'espressione esplicita della proiezione di \(0\) su \(C\). Piuttosto, ricorda che \[\min_{x \in C} \sum_{i=0}^\infty |x_i|^2 = \min_{x \in C} \| x\|_{\ell^2 (\mathbb{N})} = \|P_C 0\|_{\ell^2 (\mathbb{N})}; \]siccome le coordinate degli elementi di \(C\) "vincolate" sono soltanto le prime tre, buttando a zero tutte le altre la norma scende. Sara' quindi \[ P_C 0 =(x_0,x_1,1-x_0-x_1,0,0,0, \dots).\]Non ti rimane che studiare la funzione in due variabili \[ f(x_0,x_1) = x_0^2 + x_1^2 + (1-x_0-x_1)^2\]e trovare i valori di \(x_0\) e \(x_1\) che la minimizzano. Osserva che \(f\) e' una funzione quadratica (e globalmente convessa), quindi il minimo esiste ed e' unico (che dovrebbe essere in \((1/3,1/3)\), se non ho sbagliato i conti).

[duilio1]

Grazie mille, ora ho capito!