Problemi con la soluzione equazione ellittica
Ciao a tutti, ho qualche problema con questa formula riportata nel libro "Handbook of Nonlinear partial differential equations" di Polyanin.
In particolare, nel mio caso specifico, i coefficienti $ a_1 $ , $ a_2 $ , $ b_1 $ e $ b_2 $ sono tutti pari a $0$. Mentre $f(w)=g(w) $ e in particolare $f(w)$ è un opportuno polinomio nella variabile $w$, che non penso serva specificare ma se servisse lo riporterò. Stessa cosa per $h$ che è una certa funzione nella variabile $w$ e nelle sue derivate.
Per cui sostituendo ottengo:
$ A=0 $
$ B=0 $
E quindi anche $ xi =0 $ e di conseguenza $phi(xi,w)=0$
Per cui mi sembra che si semplifichi tutto e non sia risolvibile usando questa formula. Eppure è molto strano, perchè questa è una formula generale che io sto applicando a un caso più specifico. Sto sbagliando qualcosa? Se si, qualcuno riesce a illuminarmi su come procedere? Oppure qualcuno sa dove posso trovare la soluzione al mio problema specifico?
In particolare, nel mio caso specifico, i coefficienti $ a_1 $ , $ a_2 $ , $ b_1 $ e $ b_2 $ sono tutti pari a $0$. Mentre $f(w)=g(w) $ e in particolare $f(w)$ è un opportuno polinomio nella variabile $w$, che non penso serva specificare ma se servisse lo riporterò. Stessa cosa per $h$ che è una certa funzione nella variabile $w$ e nelle sue derivate.
Per cui sostituendo ottengo:
$ A=0 $
$ B=0 $
E quindi anche $ xi =0 $ e di conseguenza $phi(xi,w)=0$
Per cui mi sembra che si semplifichi tutto e non sia risolvibile usando questa formula. Eppure è molto strano, perchè questa è una formula generale che io sto applicando a un caso più specifico. Sto sbagliando qualcosa? Se si, qualcuno riesce a illuminarmi su come procedere? Oppure qualcuno sa dove posso trovare la soluzione al mio problema specifico?
Risposte
Premesso che non ho mai affrontato questo argomento, ho considerato il tuo caso particolare. Intanto, mediante applicazioni ripetute della regola di derivazione delle funzioni composte:
Inoltre:
In definitiva:
che, $AA A in RR$ e $AA B in RR$, rappresenta un caso particolare dell'equazione differenziale ordinaria presente nel tuo manuale, a patto che:
non dipendente esplicitamente da $\xi$. Infine, anche se in questo caso particolare non dovrebbe avere alcuna rilevanza, bisognerebbe investigare il ruolo della costante $C$ che il frammento di testo richiama senza spiegarne la necessità.
1. $[w_x=Aw_\xi] ^^ [w_y=Bw_\xi] ^^ [w_(x x)=A^2w_(\xi \xi)] ^^ [w_(y y)=B^2w_(\xi \xi)]$
2. $[f(w)_x=Af(w)_ww_\xi] ^^ [f(w)_y=Bf(w)_ww_\xi]$
Inoltre:
$[f(w)w_x]_x+[f(w)w_y]_y=h(w,w_x,w_y) rarr$
$rarr f(w)(w_(x x)+w_(y y))+f(w)_xw_x+f(w)_yw_y=h(w,w_x,w_y) rarr$
$rarr f(w)(A^2w_(\xi \xi)+B^2w_(\xi \xi))+A^2f(w)_ww_\xi^2+B^2f(w)_ww_\xi^2=h(w,Aw_\xi,Bw_\xi) rarr$
$rarr (A^2+B^2)f(w)w_(\xi \xi)+(A^2+B^2)f(w)_ww_\xi^2=h(w,Aw_\xi,Bw_\xi) rarr$
$rarr (A^2+B^2)[f(w)w_(\xi \xi)+f(w)_ww_\xi^2]=h(w,Aw_\xi,Bw_\xi) rarr$
$rarr (A^2+B^2)[f(w)w_\xi]_\xi=h(w,Aw_\xi,Bw_\xi) rarr$
$rarr [(A^2+B^2)f(w)w_\xi]_\xi=h(w,Aw_\xi,Bw_\xi)$
In definitiva:
$[(A^2+B^2)f(w)w_\xi]_\xi=h(w,Aw_\xi,Bw_\xi)$
che, $AA A in RR$ e $AA B in RR$, rappresenta un caso particolare dell'equazione differenziale ordinaria presente nel tuo manuale, a patto che:
$\varphi(w)=(A^2+B^2)f(w)$
non dipendente esplicitamente da $\xi$. Infine, anche se in questo caso particolare non dovrebbe avere alcuna rilevanza, bisognerebbe investigare il ruolo della costante $C$ che il frammento di testo richiama senza spiegarne la necessità.
Io intervengo così, senza sapere né leggere né scrivere, e magari dico una cosa ovvia. Ma ci provo lo stesso. Quel metodo serve solo a trovare soluzioni nella forma \(w(x, y)=\text{una funzione di}(Ax+By)\), non a trovare TUTTE le soluzioni. Quindi se \(w\) si annulla, significa solo che non ci sono soluzioni di quella forma lì, a parte quella banale, non vedo nessuna contraddizione.
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