Problema sul raggio di convergenza.

[Francikkk1]

Buonasera a tutti ancora una volta sono incappato in un problema nella risoluzione di un esercizio piuttosto banale riguardante il raggio di convergenza di una successione, almeno per come l'ho provato a risolvere io, peccato che mi torni un risultato diverso da quello che risulta sul testo. Vi posto l'esercizio:




E la soluzione proposta (occhio, contiene un errore, è stato scambiato $Rh$ con $Rf$ nella soluzione) :




Peccato che a me torni:
$Rh=e^-4$
$Rg=e^7$

Ed il bello è che sono arrivato allo stesso risultato sia con il criterio della radice che quello del rapporto, ma non ci provo nemmeno a dire che ha sbagliato il libro, quando lo dico non è mai vero!
Lascio a voi la questione, sperando che sappiate delucidarmi sul perchè mi torna un risultato diverso da quello proposto.
Buona serata a tutti e grazie per l'attenzione!

[gugo82]

Posta i passaggi.

[pilloeffe]

Ciao Francikkk,

"Francikkk":Ed il bello è che sono arrivato allo stesso risultato sia con il criterio della radice che quello del rapporto, ma non ci provo nemmeno a dire che ha sbagliato il libro

Secondo me hai ragione tu ed è errato il risultato sul libro, perché se $R_f = 1 $ significa che si ha:

$\R_f = \lim_{n \to +\infty} |(f_n)/(f_{n + 1})| = 1 $

Quindi si ha:

$\R_g = \lim_{n \to +\infty} |(g_n)/(g_{n + 1})| = \lim_{n \to +\infty} |(e^{-7n}f_n)/(e^{-7(n + 1)}f_{n + 1})| = e^7 $

$\R_h = \lim_{n \to +\infty} |(h_n)/(h_{n + 1})| = \lim_{n \to +\infty} |(e^{4n}f_n)/(e^{4(n + 1)}f_{n + 1})| = e^{-4} $

L'altra possibilità è che il risultato sia corretto (a parte lo scambio di $R_h $ con $ R_f $ che hai già menzionato), ma ci sia un errore proprio nel testo dell'Es. 1.5 proposto ed in realtà sia $g_n = e^{7n} f_n $ e $h_n = e^{-4n} f_n $

[gugo82]

Posso far notare che non ha alcun senso dire “raggio di convergenza di una successione”?

Secondo me bisogna specificare un po’ il contesto dell’esercizio.