Problema Spazi normati a dimensione finita

[Wwweeerrr1]

Buongiorno a tutti! Volevo chiedervi aiuto su questo problema:
Sia $X$ uno spazio normato e si supponga che esistono $n$ punti ${x_k : 1<=k<=n}$ ed un numero $r>1$ tali che:
$ B(0,r)sub bigcup_{k=1}^n B(x_k,1) $
Dimostrare che $X$ ha dimensione finita.

Quell'unione finita mi fa pensare di dimostrare che $B(0,r)$ sia compatta (e questo concluderebbe la dimostrazione) utilizzando i ricoprimenti, ma non mi sembra dimostrabile che quel ricoprimento finito sia un sottoricoprimento di ogni ricoprimento aperto. Sicuramente lo è per i ricoprimenti ${V_i}$ tali che $ bigcup _{k=1}^n B(x_k,1) sub bigcup_{i in I} V_i$ ma per gli altri? Avete qualche consiglio su come ragionare?

[Studente Anonimo]

Mi sembra si possa fare col Lemma di Riesz. La condizione che hai scritto sulle palle (che assumo aperte) equivale a dire che \[ B(0,r/(r-\epsilon)) \subseteq \bigcup_{i=1}^n B(\tilde{x}_i,1/(r-\epsilon)) \] con \( \tilde{x}_i = x_i / (r-\epsilon)\) e \(r-\epsilon > 1 \). Ora prendiamo \( V := \text{span} \{ \tilde{x}_1, \dots , \tilde{x}_n \} \) e fissiamo un \( \alpha \in (0,1) \) con \( \alpha > 1/(r-\epsilon) \); per Riesz esiste un \( x \) con \( \| x \| =1 \) tale che \( \|x - \tilde{x}_i \| \ge \alpha \) per ogni \(i\), il che contraddice l'ipotesi. Ne segue che \(V\) non è un sottospazio proprio, cioè \( V = X \).

[Wwweeerrr1]

Grazie mille! Stavo anche provando col lemma di Riesz ma non raffinavo in modo da poterlo applicare correttamente.

[Wwweeerrr1]

Ripensandoci è proprio necessario considerare $x_i/(r-epsilon)$?
Se considerassi $M=span(x_1,...,x_n)$ avrei che $dim(M)=1$ per ogni j ($S_X$ è la sfera unitaria di X). Però dall'ipotesi so che $r>1$ quindi $S_X sub B(0,r) sub uuu_{i=1}^n B(x_i,1)$. Quindi $||x-x_j||<1$ e seguendo il tuo stesso ragionamento avrei un assurdo.
C'è qualche imprecisione in questo ragionamento?

[Studente Anonimo]

"Lorz":Ripensandoci è proprio necessario considerare $x_i/(r-epsilon)$?
Se considerassi $M=span(x_1,...,x_n)$ avrei che $dim(M)=1$ per ogni j ($S_X$ è la sfera unitaria di X). Però dall'ipotesi so che $r>1$ quindi $S_X sub B(0,r) sub uuu_{i=1}^n B(x_i,1)$. Quindi $||x-x_j||<1$ e seguendo il tuo stesso ragionamento avrei un assurdo.
C'è qualche imprecisione in questo ragionamento?

Si', funziona[nota]Se avevi letto il messaggio precedente... l'ho cancellato perche' avevo scritto una cosa falsa.[/nota]!

[Wwweeerrr1]

Ok non avevo letto la replica