Problema di Cauchy con z-trasformata

[frat92ds]

Buongiorno a tutti,

ho risolto il seguente problema di Cauchy ma ho dei dubbi in merito al procedimento che ho svolto :
$y(t)'' + 4y(t)=0$
$y(0)=1$
$y'(0)=0 $

Ho determinato $y0= -5$ e $y1=-5tau$ con le formule delle equazioni alle differenze finite e riscrivo quindi l'equazione cercata : $y(k+2) +2y(k+1) + yk(4+ tau^2)=0$.

Z-trasformo , riordino i termini e trovo 2 poli semplici, ed è qui che inizio ad avere delle perplessità:
utilizzo il calcolo dei residui : $yk= Res((z^(k-1)Y(z), (1+3itau))+Res((z^(k-1)Y(z), (1-3itau))$ da cui trovo:
$yk= ((-7tau +1)*(1+9tau^2))/(6itau)$

Ho saltato qualche passaggio ?

Grazie e buona giornata.

[pilloeffe]

Ciao frat92ds,

Scusa, ma non si capisce cosa c'entri il primo PdC (che è risolto da $y(t) = cos(2t) $) con la seconda equazione alle differenze, che è completamente diversa e mi pare pure scritta male...

[frat92ds]

L'equazione sicuramente l'ho scritta male (non ho ancora familiarità con la scrittura delle formule su questa piattaforma ).

Comunque come dovrei procedere allora per discretizzare il PcC e determinare soluzioni approssimate con la Z- Trasformata ?