Problema di cauchy con le trasformate di laplace
Assegnato il problema di cauchy:
$ { ( y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0 ),( y(0)=3),( y'(0)=1 ):} $
e se ne calcoli, se esiste, la soluzione usando la trasformata di laplace.
Mio svolgimento:
1. trasformo l'equazione differenziale in una equazione algebrica utilizzando la proprietà di trasformazione della derivata seconda e della derivata prima
Dato $s in C$,
$s^2Y-sy(0)-y'(0)+4(sY-y(0))+3Y=0$
$s^2Y-3s-1+4(sY-3)+3Y=0$
ed esplicito la L-trasformata della soluzione:
$(s^2+4s+3)Y=3s+12+1$
$Y(s)= (3s+13)/(s^2+4s+3)$
2. anti-trasformo i due membri dell'equazione
Siamo nel caso di una funzione razionale il cui denominatore ha discriminante positivo, quindi il denominatore ha due radici reali. Dunque , si può decomporre: $s^2+4s+3=(s+3)(s+1)$
E quindi, la funzione si può spezzare col metodo dei fratti semplici:
$ (3s+13)/(s^2+4s+3)=A/(s+3)+B/(s+1)$
Da qui , tramite passaggi algebrici si ottiene che: $A=1$ e $B=4$
Quindi , ricordando la trasformata dell'esponenziale reale, si ha che:
$Y(s)= 1/(s+3)+4/(s+1)= L[e^-(3x)](s) +4 L[e^-x](s)= L[e^(-3x)+4e^-x](s)$
Risultato: $y(x)= e^(-3x)+4e^-x$
Wolfram mi suggerisce invece : $y(x)=e^(-3x) (5e^(2x)-2)$
Dov'è l'errore?
$ { ( y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0 ),( y(0)=3),( y'(0)=1 ):} $
e se ne calcoli, se esiste, la soluzione usando la trasformata di laplace.
Mio svolgimento:
1. trasformo l'equazione differenziale in una equazione algebrica utilizzando la proprietà di trasformazione della derivata seconda e della derivata prima
Dato $s in C$,
$s^2Y-sy(0)-y'(0)+4(sY-y(0))+3Y=0$
$s^2Y-3s-1+4(sY-3)+3Y=0$
ed esplicito la L-trasformata della soluzione:
$(s^2+4s+3)Y=3s+12+1$
$Y(s)= (3s+13)/(s^2+4s+3)$
2. anti-trasformo i due membri dell'equazione
Siamo nel caso di una funzione razionale il cui denominatore ha discriminante positivo, quindi il denominatore ha due radici reali. Dunque , si può decomporre: $s^2+4s+3=(s+3)(s+1)$
E quindi, la funzione si può spezzare col metodo dei fratti semplici:
$ (3s+13)/(s^2+4s+3)=A/(s+3)+B/(s+1)$
Da qui , tramite passaggi algebrici si ottiene che: $A=1$ e $B=4$
Quindi , ricordando la trasformata dell'esponenziale reale, si ha che:
$Y(s)= 1/(s+3)+4/(s+1)= L[e^-(3x)](s) +4 L[e^-x](s)= L[e^(-3x)+4e^-x](s)$
Risultato: $y(x)= e^(-3x)+4e^-x$
Wolfram mi suggerisce invece : $y(x)=e^(-3x) (5e^(2x)-2)$
Dov'è l'errore?
Risposte
Anzitutto, che bisogno c'è di scomodare Laplace o Wolframalpha per una EDO lineare omogenea del secondo ordine?
La soluzione è del tipo $y(x) = A e^(-x) + B e^(-3x)$, da cui imponendo le condizioni iniziali si trova:
$\{(A+B=3),(-A-3B=1):} => \{(B=-2),(A=5):}$.
Per il resto, l'unica cosa che puoi aver sbagliato sono i calcoli nella scomposizione in fratti semplici o nella traslazione in frequenza... Controlla un po'.
La soluzione è del tipo $y(x) = A e^(-x) + B e^(-3x)$, da cui imponendo le condizioni iniziali si trova:
$\{(A+B=3),(-A-3B=1):} => \{(B=-2),(A=5):}$.
Per il resto, l'unica cosa che puoi aver sbagliato sono i calcoli nella scomposizione in fratti semplici o nella traslazione in frequenza... Controlla un po'.
Ciao CallistoBello,
Veramente a me risulta che si ha:
$ (3s+13)/(s^2+4s+3) = 5/(s + 1) - 2/(s + 3) $
"CallistoBello":
Dov'è l'errore?
Veramente a me risulta che si ha:
$ (3s+13)/(s^2+4s+3) = 5/(s + 1) - 2/(s + 3) $
"pilloeffe":
Ciao CallistoBello,
[quote="CallistoBello"]Dov'è l'errore?
Veramente a me risulta che si ha:
$ (3s+13)/(s^2+4s+3) = 5/(s + 1) - 2/(s + 3) $[/quote]
Si , confermo l'errore nei fratti semplici.
Grazie mille
La tua è sbagliata perché non rispetta nessuna delle due condizioni iniziali. Nota che le esponenziali sono le stesse che appaiono in Wolfram, solo i coefficienti sono diversi. Si tratta di sicuro di un errore di conto nell'imporre le condizioni iniziali.
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