Problema di Cauchy con L-trasformata

[frat92ds]

Buonasera a tutti,

Avrei un dubbio sulla soluzione del seguente PdC trovato mediante l'utilizzo della trasformata di Laplace :
$ y' + y = e^-t$
$ y(0) =0$ con $t>0$

Mediante la L-trasformata e il calcolo dei residui ottengo la soluzione del problema omogeneo :
$ y(t)= H(t)*e^(-t)$ con $H(t)$ gradino di Heaviside.
Quando vado a risolvere il problema non omogeneo imponendo : $ Y(z)= (1/(p(z))*1/(1+z))$ ottengo dal calcolo dei residui $res(1/(1+z^2), -1)=0$ che porta quindi alla soluzione $ y(t)= -H(t)*e^(-t)$

Che sommata alla precedente da $0$ il che mi sembra errato.
Qualcuno potrebbe indicarmi se e dove è l'errore di calcolo ?

Grazie e buona serata

[pilloeffe]

Ciao frat92ds,

Mi riferirò all'equazione differenziale proposta, poi farai tu le correzioni relative alla soluzione con la $\mathcal{L}$-trasformata...
Innanzitutto si vede immediatamente che la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata

$y'(t) + y(t) = 0 $

è $y_o(t) = c e^{-t} $ (che si annulla se si impone $y(0) = 0$) ed è ragionevole cercare una soluzione particolare del tipo $y_p(t) = (At + B)e^{-t} $, infatti sostituendo nell'equazione differenziale proposta si ha:

$A e^{-t} - (At + B)e^{-t} + (At + B)e^{-t} = e^{- t} $

$A - At - B + At + B = 1 \implies A = 1 $ e $B $ qualsiasi, e quindi per comodità si può considerare $B = 0$

Dunque la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:

$y(t) = y_o(t) + y_p(t) = c e^{- t} + t e^{- t} = (t + c) e^{-t} $

Imponendo la condizione $y(0) = 0 $ si ha:

$0 = y(0) = (0 + c) e^0 \implies c = 0 $

Pertanto la soluzione del problema proposto è la seguente:

$y(t) = t e^{- t} $

Se poi si sta parlando di segnali e quindi ci si vuole assicurare che la soluzione proposta sia nulla per $t < 0 $ allora si scriverà

$y(t) = t e^{- t} H(t) $

ove $H(t) $ è il gradino unitario di Heaviside.