Problema di calcolo delle variazioni

[Nettuno001]

Buon giorno
Avrei un problema, probabilmente di calcolo delle variazioni, da sottoporre:
Sia
$varphi(x,y,z)$
una funzione reale, incognita, di tre variabili reali. Si vuole determinare la funzione $varphi$ che rende minimo il seguente funzionale
$F(varphi)=\sum_{j=1}^n [varphi(x_j,y_j,z_j)-w_j]^2$
In cui
$x_j,y_j,z_j,w_j$ sono $AAj=1,2,...,n$. quantità note.
Anche n è quantità fissa e nota.
Grazie

[Studente Anonimo]

\( \varphi( x_j, y_j, z_j) = w_j \ \forall \, j \). Easy peasy.

[Nettuno001]

vero, ma quale funzione $varphi$ soddisfa la condizione
$varphi(x_j,y_j,z_j)=w_j$ $AAj$ ?
Cosi come un funzionale di tipo integrale da luogo alle equazioni di Eulero-Lagrange,
anche per il funzionale indicato dovrebbe esistere una qualche equazione differenziale che, se risolta, ci indica quale funzione soddisfa la condizione
$varphi(x_j,y_j,z_j)=w_j$

[Studente Anonimo]

"Nettuno001":vero, ma quale funzione $varphi$ soddisfa la condizione
$varphi(x_j,y_j,z_j)=w_j$ $AAj$ ?

La piu' stupida che esista:
\[ \varphi(x,y,z)= \begin{cases} w_j & \text{se } (x,y,z) = (x_j,y_j,z_j) \\ 0 & \text{else.} \end{cases} \]
Il punto e' che la domanda mi sembra mal posta; non sembra una domanda di CdV, quanto una (incompleta) di ottimizzazione non lineare (o giu' di li'). Vedi questo sull'interpolazione multi-dimensionale.