Problema con una trasformata di Fourier
Buonasera ragazzi devo svolgere la trasformata di Fourier della seguente funzione nel tempo:
\(\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{2} (1-i \sqrt{3})+t} \)
Vi illustro subito il mio problema. Io so che:
\(\displaystyle F[e^{-at}u(t)](f)=\frac{1}{a+2 \pi i f}\) con \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \)
Usando la proprietà di Dualità ottengo la seguente coppia valida:
\(\displaystyle F[\frac{1}{a+2 \pi i t}](f)=e^{af}u(-f)\)
Anche in questo caso \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \), giusto?
Ma se \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \) allora come faccio ad usare quanto detto per risolvere il mio problema iniziale? Inevitabilmente ottengo che \(\displaystyle a \) è un numero complesso con parte immaginaria non nulla.
La soluzione che trovo sul mio libro è come se usasse la relazione scritta da me sopra, ignorando totalmente che \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \).
Vi ringrazio in anticipo!
\(\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{2} (1-i \sqrt{3})+t} \)
Vi illustro subito il mio problema. Io so che:
\(\displaystyle F[e^{-at}u(t)](f)=\frac{1}{a+2 \pi i f}\) con \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \)
Usando la proprietà di Dualità ottengo la seguente coppia valida:
\(\displaystyle F[\frac{1}{a+2 \pi i t}](f)=e^{af}u(-f)\)
Anche in questo caso \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \), giusto?
Ma se \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \) allora come faccio ad usare quanto detto per risolvere il mio problema iniziale? Inevitabilmente ottengo che \(\displaystyle a \) è un numero complesso con parte immaginaria non nulla.
La soluzione che trovo sul mio libro è come se usasse la relazione scritta da me sopra, ignorando totalmente che \(\displaystyle a \in \mathbb{R}_+ \).
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Qualche consiglio?
Beh, prova a fare il conto della trasformata ed a vedere se effettivamente quella proprietà vale per $a in CC$ (casomai con qualche restrizione).
Senza applicare le proprietà non riesco. Le proprietà però parlano chiaro ...
Scusa?
Cioè non sai come si calcola la trasformata di Fourier usando la definizione?
Beh, allora è inutile star qui a parlarne, non trovi?
Cioè non sai come si calcola la trasformata di Fourier usando la definizione?
Beh, allora è inutile star qui a parlarne, non trovi?
Si che conosco la definizione, ma non riesco a dimostrarlo. Se ne fossi stato in grado non avrei chiesto aiuto ovviamente.
Si vorrebbe capire se la proprietà:
\[
\mathcal{F}[e^{-\alpha t}\ \operatorname{u}(t)](f) = \frac{1}{\alpha + 2\pi i f}
\]
vale per qualche $alpha in CC$, oltre che per $alpha in RR_+$.
Se non erro, guardando le trasformate, la definizione di trasformata adottata è:
\[
\mathcal{F}[x](f) := \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ e^{-2\pi i f t}\ \text{d} t
\]
però OP farebbe meglio a specificarlo (dato che non è l'unica normalizzazione possibile per la TdF).
Ad occhio e croce non serve neanche andare ad usare la definizione, ma bastano le tavole tanto care ad OP.
Posto $\alpha = a + i b$, se $a = text(Re)(alpha) >0 $, risulta:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}[e^{-(a + i b) t}\ \operatorname{u}(t)](f) &= \mathcal{F}[e^{-i b t}\ e^{-a t}\ \operatorname{u}(t)](f) \\
&= \mathcal{F}[e^{-a t}\ \operatorname{u}(t)] \left( f + \frac{b}{2\pi}\right) \\
&= \frac{1}{a + 2\pi i \left( f + \frac{b}{2\pi}\right)} \\
&= \frac{1}{a + ib + 2\pi i f} \\
&= \frac{1}{\alpha + 2\pi i f}
\end{split}
\]
come si voleva.
Dunque l'uguaglianza:
\[
\mathcal{F}[e^{-\alpha t}\ \operatorname{u}(t)](f) = \frac{1}{\alpha + 2\pi i f}
\]
vale non appena $text(Re)(alpha) > 0$.
\[
\mathcal{F}[e^{-\alpha t}\ \operatorname{u}(t)](f) = \frac{1}{\alpha + 2\pi i f}
\]
vale per qualche $alpha in CC$, oltre che per $alpha in RR_+$.
Se non erro, guardando le trasformate, la definizione di trasformata adottata è:
\[
\mathcal{F}[x](f) := \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\ e^{-2\pi i f t}\ \text{d} t
\]
però OP farebbe meglio a specificarlo (dato che non è l'unica normalizzazione possibile per la TdF).
Ad occhio e croce non serve neanche andare ad usare la definizione, ma bastano le tavole tanto care ad OP.
Posto $\alpha = a + i b$, se $a = text(Re)(alpha) >0 $, risulta:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}[e^{-(a + i b) t}\ \operatorname{u}(t)](f) &= \mathcal{F}[e^{-i b t}\ e^{-a t}\ \operatorname{u}(t)](f) \\
&= \mathcal{F}[e^{-a t}\ \operatorname{u}(t)] \left( f + \frac{b}{2\pi}\right) \\
&= \frac{1}{a + 2\pi i \left( f + \frac{b}{2\pi}\right)} \\
&= \frac{1}{a + ib + 2\pi i f} \\
&= \frac{1}{\alpha + 2\pi i f}
\end{split}
\]
come si voleva.
Dunque l'uguaglianza:
\[
\mathcal{F}[e^{-\alpha t}\ \operatorname{u}(t)](f) = \frac{1}{\alpha + 2\pi i f}
\]
vale non appena $text(Re)(alpha) > 0$.
La tua funzione è l'inverso di un numero complesso, moltiplico sia sopra che sotto per il complesso coniugato e separo la parte reale da quella immaginaria;
\(\frac{1}{\frac{1}{2}\left ( 1-i\sqrt{3} \right )+t}=\frac{t+\left (1/2 \right )}{t^{2}+t++1}+i\frac{\left (1/2 \right )\sqrt{3}}{t^{2}+t+1}\)
Ora svolgo le 2 trasformate di Fourier....
Sarebbe meglio applicare qualche metodo per calcolare questi integrali impropri.
Aspetta mi ricordo di un certo lemma di Jordan che semplificava di molto il calcolo di questi integrali impropri..
Bene diamogli una ripassata.....ok ci sono sembra che me la dovrei cavare con un semplice calcolo di poli e residui.
\(\frac{1}{\frac{1}{2}\left ( 1-i\sqrt{3} \right )+t}=\frac{t+\left (1/2 \right )}{t^{2}+t++1}+i\frac{\left (1/2 \right )\sqrt{3}}{t^{2}+t+1}\)
Ora svolgo le 2 trasformate di Fourier....
Sarebbe meglio applicare qualche metodo per calcolare questi integrali impropri.
Aspetta mi ricordo di un certo lemma di Jordan che semplificava di molto il calcolo di questi integrali impropri..
Bene diamogli una ripassata.....ok ci sono sembra che me la dovrei cavare con un semplice calcolo di poli e residui.
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