Problema con ostacolo
Riascoltando le sbobinature delle lezioni mi sono reso conto di quanto poco avessi chiaro in testa questo passaggio. Il professore dice, cito testualmente:
Il problema che dobbiamo risolvere al fine di individuare l'istante ottimo di esercizio per un'opzione di tipo Americano è ${ ( max{L_(BS)f,\varphi-f}=0 ),( f(T,\cdot)=\varphi(T,\cdot) ):}{: ( ),( ) :}{: ( (0,T)xx \mathbb(R)^+ ),( \mathbb(R)^+ ) :}$. Questo problema associa ad ogni valore assunto dalla funzione $f\in C([0,T]xx \mathbb(R)^+)$ il massimo tra il payoff $\varphi$ del derivato, con $\varphi:=\varphi(t,S_t)$ funzione convessa e localmente lipschitziana, ed un funzionale $L_(BS)f:=(\partial f)/(\partial t)+(r-q)S (\partial f)/(\partial S)+(1)/(2)\sigma^2 S^2(\partial^2 f)/(\partial S^2 )-rf$ che descrive l'operatore parabolico di Black e Scholes, con $q>=0$ il dividend yield.
Continua dicendo che
si può dimostrare come tale formalizzazione del problema non ammetta soluzioni in $C^2$, per cui è prassi ricorrere ad un approccio variazionale che allarghi lo spazio delle soluzioni non soltanto alle funzioni $f$ che soddisfano l'equazione $L_(BS)f=0$ ma anche a quelle funzioni tali per cui vale la disequazioni $L_(BS)f<=0$. Così facendo si può riscrivere il problema suddetto come segue: ${ ( L_(BS)f<=0 ),( f>=\varphi ),( (f-\varphi)L_(BS)f=0 ),( f(0,x)=\varphi(0,x) ):}$. Le condizioni elencate ci dicono che la soluzione del problema è una funzione $\bar(f)$ tale che:
1) $L_(BS)\bar(f)<=0$, cioè $\bar(f)$ è super-soluzione per il funzionale $L$;
2) $\bar(f)$ è maggiore o uguale dell'ostacolo $\varphi$;
3) $\bar(f)$ è soluzione dell'equazione $L_(BS)\bar(f)=0$ per $\bar(f)>\varphi$;
4) $\bar(f)$ è soggetta alle condizioni iniziali.
L'argomento di cui sta parlando lo trovate qui a pag. 19: http://www.dm.unibo.it/~pascucci/web/Ricerca/PDF/american.pdf
Potreste aiutarmi a fare un pò di chiarezza? Troppo matematico per me
Il problema che dobbiamo risolvere al fine di individuare l'istante ottimo di esercizio per un'opzione di tipo Americano è ${ ( max{L_(BS)f,\varphi-f}=0 ),( f(T,\cdot)=\varphi(T,\cdot) ):}{: ( ),( ) :}{: ( (0,T)xx \mathbb(R)^+ ),( \mathbb(R)^+ ) :}$. Questo problema associa ad ogni valore assunto dalla funzione $f\in C([0,T]xx \mathbb(R)^+)$ il massimo tra il payoff $\varphi$ del derivato, con $\varphi:=\varphi(t,S_t)$ funzione convessa e localmente lipschitziana, ed un funzionale $L_(BS)f:=(\partial f)/(\partial t)+(r-q)S (\partial f)/(\partial S)+(1)/(2)\sigma^2 S^2(\partial^2 f)/(\partial S^2 )-rf$ che descrive l'operatore parabolico di Black e Scholes, con $q>=0$ il dividend yield.
Continua dicendo che
si può dimostrare come tale formalizzazione del problema non ammetta soluzioni in $C^2$, per cui è prassi ricorrere ad un approccio variazionale che allarghi lo spazio delle soluzioni non soltanto alle funzioni $f$ che soddisfano l'equazione $L_(BS)f=0$ ma anche a quelle funzioni tali per cui vale la disequazioni $L_(BS)f<=0$. Così facendo si può riscrivere il problema suddetto come segue: ${ ( L_(BS)f<=0 ),( f>=\varphi ),( (f-\varphi)L_(BS)f=0 ),( f(0,x)=\varphi(0,x) ):}$. Le condizioni elencate ci dicono che la soluzione del problema è una funzione $\bar(f)$ tale che:
1) $L_(BS)\bar(f)<=0$, cioè $\bar(f)$ è super-soluzione per il funzionale $L$;
2) $\bar(f)$ è maggiore o uguale dell'ostacolo $\varphi$;
3) $\bar(f)$ è soluzione dell'equazione $L_(BS)\bar(f)=0$ per $\bar(f)>\varphi$;
4) $\bar(f)$ è soggetta alle condizioni iniziali.
L'argomento di cui sta parlando lo trovate qui a pag. 19: http://www.dm.unibo.it/~pascucci/web/Ricerca/PDF/american.pdf
Potreste aiutarmi a fare un pò di chiarezza? Troppo matematico per me
Risposte
Non ho letto le dispense del prof. ma provo a spiegarti come lo so io. Per farlo è necessario però entrare nel vivo del controllo ottimo stocastico (non so che cosa tu stia studiando ma provo ad essere il più completo possibile).
In questo tipo di problemi, si ha un processo "ricompensa" $(Z_t)_{t \ge 0}$ integrabile ed adattato alla filtrazione $\mathcal{F}_t$. Ciò che vogliamo fare è risolvere
\[
\sup_{0 \le \tau \le T} \mathbb{E}[Z_{\tau}], \quad \tau \in \mathcal{T}
\]
dove indico con $\mathcal{T}$ l'insieme dei tempi di arresto rispetto alla stessa filtrazione di Z.
Definizione
Se esiste $\hat{\tau}$ tale che \[ \mathbb{E}[Z_{\hat{\tau}}]= \sup_{0 \le \tau \le T}\mathbb{E}[Z_{\tau}]\], allora $\hat{\tau}$ si dice ottimo.
(Nota il se iniziale: non è detto esista un tale tempo)
Per capire prima quello che succede, consideriamo il caso discreto. Definiamo
1. il processo valore $J_n(\tau):= \mathbb{E}[Z_{\tau}|\mathcal{F}_n]$
2. il processo valore ottimale \[V_n := \sup\mathbb{E}[Z_{\tau}|\mathcal{F}_n]\]
Consideriamo ora le tre strategie seguenti:
S1) uso la strategie ottima $\hat{\tau}_n$
S2) mi fermo subito, e quindi $\tau_n = n$
S3) aspetto fino al tempo $n+1$ e poi uso $\hat{\tau}_{n+1}$
I valori per queste strategie sono:
S1) $V_n$
S2) $Z_n$
S3) $\mathbb{E}[V_{n+1}|\mathcal{F}_n]$
Prova a dimostrare tu perchè sono proprio queste. Ad ogni modo, poichè sappiamo che $V_n$ è il valore ottimo si ha che $V_n \ge Z_n$ e $V_n \ge \mathbb{E}[V_{n+1}|\mathcal{F}_n]$. Vale poi la seguente proposizione (che ti consiglio di dimostrare)
Proposizione
$V$ è la soluzione del seguente problema
\begin{equation}
\begin{cases}
V_n = \max(Z_n, \mathbb{E}[V_{n+1}|\mathcal{F}_n]) \\
V_T = Z_T
\end{cases}
\end{equation}
Questo teorema ci è utile dopo per capire un'uguaglianza del prof e ci dice che è ottimale fermarsi ad n sse $V_n = Z_n$ mentre se non è ottimo fermarsi ad n, allora $V_n > Z_n$ e $V_n = \mathbb{E}[V_{n+1}|\mathcal{F}_n]$.
Si introduce poi il concetto cardine di questa discussione che è l'inviluppo di Snell.
Definizione
$X$ domina $Z$ se $X_n \ge Z_n$ $\mathbb{P}$-q.c. e $\forall n$. Assumendo poi $\mathbb{E}[Z_n] < \infty$ $\forall n \le T$, l'inviluppo di Snell $S$ di $Z$ è la più piccola supermartingala che domina $Z$. Cioè S è una supermartingala che domina Z e se X è un'altra supermartingala che domina Z, allora necessariamente $X_n \ge S_n$ $\mathbb{P}$-q.c. $\forall n$.
Si dimostra che tale oggetto esiste e soprattutto che il processo valore ottimale è l'inviluppo di Snell di Z, cioè $V_n = S_n$ (prova a dimostrarla questa cosa che è il risultato principale)
Passando ora al caso continuo resta ancora valido che la quantità \[V_t := \sup_{t \le \tau T} \mathbb{E}[Z_{\tau}|\mathcal{F}_{\tau}]\] è l'inviluppo di Snell di $Z_t$.
Consideriamo ora il classico contesto diffusivo $dX_s=\mu(s,X_s)ds+\sigma(s,X_s)dW_s, X_t =x$, con $Z_{\tau}=\varphi(\tau,X_{\tau})$. Consideriamo le strategie seguenti
S1) uso la strategie ottima $\hat{\tau}_t$
S2) mi fermo subito
S3) aspetto fino al tempo $t+h$ (h piccolo) e poi uso $\hat{\tau}_{t+h}$
I processi valore associati sono
S1) $V(t,x)$
S2) $\varphi(t,x)$
S3) $\mathbb{E}[V(t+h,X_{t+h})]$
e come prima la funzione valore è maggiore delle altre due (dove si definiscono V e J analogamente al caso discreto). Sotto ipotesi di regolarità possiamo applicare Ito a V e quindi avere
\[
V(t+h,X_{t+h})=V(t,x)+\int_{t}^{t+h}(\frac{\partial}{\partial s}+\mathcal{A})V ds + \int_{t}^{t+h}\frac{\partial V}{\partial x} \sigma dW_s
\]
con $\mathcal{A}$ il generatore infinitesimale del semigruppo di Kolmogorov. Prendendo il valore atteso in entrambi i membri e sfruttando il fatto che $V(t,x) \ge \mathbb{E}[V(t+h,X_{t+h})]$ otteniamo
\[
\mathbb{E} \big[ \int_{t}^{t+h}(\frac{\partial}{\partial s}+\mathcal{A})V ds \big] \le 0
\]
Dividendo per h>0, mandandola a 0 e grazie al teorema della media abbiamo $\frac{\partial V}{\partial s}+\mathcal{A}V \le 0$ accoppiata con $V(t,x) \ge \varphi(t,x)$. Poichè se una delle due disequazioni è stretta l'altra è uguaglianza (per il teorema sopra) si ha l'equivalenza con il massimo proposto da te all'inizio.
La terza equazione del tuo sistema, riflette il fatto che se ho la disuguaglianza stretta allora l'altra è uguaglianza, mentre l'ultima sono le condizioni iniziali (secondo me lui qui ha messo quelle iniziali e non finali perchè ha preso in L la derivata temporale con il - e non con il +).
Spero sia più chiaro così. Se vuoi provare a cimentarti nelle dimostrazioni che ti ho proposto ed incontri difficoltà, prova a scrivere.
In questo tipo di problemi, si ha un processo "ricompensa" $(Z_t)_{t \ge 0}$ integrabile ed adattato alla filtrazione $\mathcal{F}_t$. Ciò che vogliamo fare è risolvere
\[
\sup_{0 \le \tau \le T} \mathbb{E}[Z_{\tau}], \quad \tau \in \mathcal{T}
\]
dove indico con $\mathcal{T}$ l'insieme dei tempi di arresto rispetto alla stessa filtrazione di Z.
Definizione
Se esiste $\hat{\tau}$ tale che \[ \mathbb{E}[Z_{\hat{\tau}}]= \sup_{0 \le \tau \le T}\mathbb{E}[Z_{\tau}]\], allora $\hat{\tau}$ si dice ottimo.
(Nota il se iniziale: non è detto esista un tale tempo)
Per capire prima quello che succede, consideriamo il caso discreto. Definiamo
1. il processo valore $J_n(\tau):= \mathbb{E}[Z_{\tau}|\mathcal{F}_n]$
2. il processo valore ottimale \[V_n := \sup\mathbb{E}[Z_{\tau}|\mathcal{F}_n]\]
Consideriamo ora le tre strategie seguenti:
S1) uso la strategie ottima $\hat{\tau}_n$
S2) mi fermo subito, e quindi $\tau_n = n$
S3) aspetto fino al tempo $n+1$ e poi uso $\hat{\tau}_{n+1}$
I valori per queste strategie sono:
S1) $V_n$
S2) $Z_n$
S3) $\mathbb{E}[V_{n+1}|\mathcal{F}_n]$
Prova a dimostrare tu perchè sono proprio queste. Ad ogni modo, poichè sappiamo che $V_n$ è il valore ottimo si ha che $V_n \ge Z_n$ e $V_n \ge \mathbb{E}[V_{n+1}|\mathcal{F}_n]$. Vale poi la seguente proposizione (che ti consiglio di dimostrare)
Proposizione
$V$ è la soluzione del seguente problema
\begin{equation}
\begin{cases}
V_n = \max(Z_n, \mathbb{E}[V_{n+1}|\mathcal{F}_n]) \\
V_T = Z_T
\end{cases}
\end{equation}
Questo teorema ci è utile dopo per capire un'uguaglianza del prof e ci dice che è ottimale fermarsi ad n sse $V_n = Z_n$ mentre se non è ottimo fermarsi ad n, allora $V_n > Z_n$ e $V_n = \mathbb{E}[V_{n+1}|\mathcal{F}_n]$.
Si introduce poi il concetto cardine di questa discussione che è l'inviluppo di Snell.
Definizione
$X$ domina $Z$ se $X_n \ge Z_n$ $\mathbb{P}$-q.c. e $\forall n$. Assumendo poi $\mathbb{E}[Z_n] < \infty$ $\forall n \le T$, l'inviluppo di Snell $S$ di $Z$ è la più piccola supermartingala che domina $Z$. Cioè S è una supermartingala che domina Z e se X è un'altra supermartingala che domina Z, allora necessariamente $X_n \ge S_n$ $\mathbb{P}$-q.c. $\forall n$.
Si dimostra che tale oggetto esiste e soprattutto che il processo valore ottimale è l'inviluppo di Snell di Z, cioè $V_n = S_n$ (prova a dimostrarla questa cosa che è il risultato principale)
Passando ora al caso continuo resta ancora valido che la quantità \[V_t := \sup_{t \le \tau T} \mathbb{E}[Z_{\tau}|\mathcal{F}_{\tau}]\] è l'inviluppo di Snell di $Z_t$.
Consideriamo ora il classico contesto diffusivo $dX_s=\mu(s,X_s)ds+\sigma(s,X_s)dW_s, X_t =x$, con $Z_{\tau}=\varphi(\tau,X_{\tau})$. Consideriamo le strategie seguenti
S1) uso la strategie ottima $\hat{\tau}_t$
S2) mi fermo subito
S3) aspetto fino al tempo $t+h$ (h piccolo) e poi uso $\hat{\tau}_{t+h}$
I processi valore associati sono
S1) $V(t,x)$
S2) $\varphi(t,x)$
S3) $\mathbb{E}[V(t+h,X_{t+h})]$
e come prima la funzione valore è maggiore delle altre due (dove si definiscono V e J analogamente al caso discreto). Sotto ipotesi di regolarità possiamo applicare Ito a V e quindi avere
\[
V(t+h,X_{t+h})=V(t,x)+\int_{t}^{t+h}(\frac{\partial}{\partial s}+\mathcal{A})V ds + \int_{t}^{t+h}\frac{\partial V}{\partial x} \sigma dW_s
\]
con $\mathcal{A}$ il generatore infinitesimale del semigruppo di Kolmogorov. Prendendo il valore atteso in entrambi i membri e sfruttando il fatto che $V(t,x) \ge \mathbb{E}[V(t+h,X_{t+h})]$ otteniamo
\[
\mathbb{E} \big[ \int_{t}^{t+h}(\frac{\partial}{\partial s}+\mathcal{A})V ds \big] \le 0
\]
Dividendo per h>0, mandandola a 0 e grazie al teorema della media abbiamo $\frac{\partial V}{\partial s}+\mathcal{A}V \le 0$ accoppiata con $V(t,x) \ge \varphi(t,x)$. Poichè se una delle due disequazioni è stretta l'altra è uguaglianza (per il teorema sopra) si ha l'equivalenza con il massimo proposto da te all'inizio.
La terza equazione del tuo sistema, riflette il fatto che se ho la disuguaglianza stretta allora l'altra è uguaglianza, mentre l'ultima sono le condizioni iniziali (secondo me lui qui ha messo quelle iniziali e non finali perchè ha preso in L la derivata temporale con il - e non con il +).
Spero sia più chiaro così. Se vuoi provare a cimentarti nelle dimostrazioni che ti ho proposto ed incontri difficoltà, prova a scrivere.
@cooper: apprezzo quanto hai fatto, è molto interessante, ma secondo me non è ciò che mobley sta chiedendo. Io sospetto che la domanda sia a un livello molto più elementare. Il problema originale consiste di due richieste;
\[
\max(L_{BS} f, \phi-f)=0,\qquad f(T, x)=\phi(T, x).\]
Ora, la prima richiesta si può scompattare osservando che il massimo tra due numeri è più piccolo di zero se e solo se entrambi i numeri sono nonpositivi e almeno uno di essi è zero. Questo si scrive in formule così:
\[
\max(L_{BS} f, \phi-f)=0\quad \iff\quad L_{BS}f\le 0,\ \phi-f\le 0,\ (\phi-f)L_{BS}f=0.\]
Per spiegare l'ultima equazione, notiamo che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno di essi è zero.
Questo spiega come il professore sia arrivato al problema finale dell'OP. Restano solo da imporre le condizioni iniziali. Qui non capisco una cosa in realtà. Nel problema originale, le condizioni non sono "iniziali" ma finali; \(f(T, x)=\phi(T, x)\). Nella riformulazione, le condizioni diventano iniziali; \(f(0, x)=\phi(0, x)\). Non so, ma sospetto sia un dettaglio tecnico non molto importante.
\[
\max(L_{BS} f, \phi-f)=0,\qquad f(T, x)=\phi(T, x).\]
Ora, la prima richiesta si può scompattare osservando che il massimo tra due numeri è più piccolo di zero se e solo se entrambi i numeri sono nonpositivi e almeno uno di essi è zero. Questo si scrive in formule così:
\[
\max(L_{BS} f, \phi-f)=0\quad \iff\quad L_{BS}f\le 0,\ \phi-f\le 0,\ (\phi-f)L_{BS}f=0.\]
Per spiegare l'ultima equazione, notiamo che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno di essi è zero.
Questo spiega come il professore sia arrivato al problema finale dell'OP. Restano solo da imporre le condizioni iniziali. Qui non capisco una cosa in realtà. Nel problema originale, le condizioni non sono "iniziali" ma finali; \(f(T, x)=\phi(T, x)\). Nella riformulazione, le condizioni diventano iniziali; \(f(0, x)=\phi(0, x)\). Non so, ma sospetto sia un dettaglio tecnico non molto importante.
Allora... innanzitutto grazie mille @cooper per il post: mi è stato davvero molto utile. Ho aspettato a rispondere perché volevo cercare a capire fino in fondo quello che mi stavi dicendo. E ovviamente complimenti per la conoscenza dell'argomento, gran testa 
Poi
Bando alle ciance, ti scrivo quello che tra appunti, libri e il tuo post ho ricostruito. Spero che leggerai tutto anche se è un pò lungo...
Allora...
Poniamoci sotto lo spazio filtrato $(\Omega, \zeta, {\zeta_t}_(t \in [0,T]), \mathbb(P))$ e assumiamo l'esistenza di $\mathbb(Q)$-martingala equivalente. Assumiamo poi un modello di mercato di tipo BS in maniera tale che il processo di prezzi ${S_t}_(t\in [0,+\infty))$ evolva secondo un MBG di forma ${ ( (dS_t)/(S_t)=(r-q)dt+\sigmadW_t^(\mathbb(Q)) ),( S_0=s \in \mathbb(R)^+ ):}$ (1). Risalta nella $\mathbb(Q)$-dinamica la presenza del tasso privo di rischio quale conseguenza dell'applicazione del Teorema di Girsanov nonché del dividend yield $q$ (dato che nelle opzioni Americane i dividendi rivestono una grande importanza per l'eventuale esercizio anticipato). Se ne consideri poi il prezzo scontato $\tilde(S)_t:=(S_t)/(B_t)$ la cui dinamica è $(d \tilde(S)_t)/(\tilde(S)_t)=-r \tilde(S)_tdt+ e^(-rt)dS_t$, pertanto sostituendovi il MGB precedente si ottiene la dinamica del prezzo scontato di un'opzione Americana: $(d \tilde(S)_t)/(\tilde(S)_t)=-q \tilde(S)_tdt+ \sigma \tilde(S)_t dW_t^(\mathbb(Q))$ (2). Teniamo presente questo risultato che ci servirà in seguito.
Definizione 1 - $\tau_0$ è strategia $\mathbb(Q)$-ottima se $\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r \tau_0) \varphi(\tau_0, S_(\tau_0))]=Sup_({\tau \in \Xi})\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r \tau) \varphi(\tau, S_(\tau))]$, con $\Xi=(\tau_0,...,\tau_n)$ l'insieme delle possibili strategie d'esercizio e $\tau_0 \in \Xi$ il più piccolo stopping time.
Definizione 2 - Il prezzo di un'opzione Americana è una funzione $f(t,S_t)=C^(1,2)([0,T] xx \mathbb(R)^+)$ tale per cui $f(t,S_t)=Sup_({\tau \in \Xi})\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t)) \varphi(\tau, S_(\tau)^(t,S))]$, con $S^(t,S)=S_0e^((r-(\sigma^2)/(2)-q)t+dW_t^(\mathbb(Q))$ soluzione della SDE (1) e per $\tau:=T-t$ la vita residua dell'opzione. Per comodità da qui in avanti $f(t,S_t)=f$.
Si può fornire una forma esplicita a tale prezzo. Se $f$ è il prezzo del derivato Americano di payoff $\varphi : I-> \mathbb(R)^+$ con $\varphi(0,S_0):=0$, allora per la definizione di convessità posso considerare qualsiasi $x_0$ coppia di reali. Fisso per comodità $y=0$ da cui $\varphi(\lambda x)<=\lambda \varphi(x)$. Assumendo $\lambda:=e^(-rs)$ e $x:=S_(t+s)$, sfruttando la disuguaglianza di Jensen e per il Primo Teorema fondamentale della valutazione secondo cui $S$ è una $\mathbb(Q)$-martingala (da cui per derivazione anche $\varphi$ in quanto funzione di $S$), si ha $e^(-rs)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[\varphi(S_(t+s))|\zeta_t]>= e^(-rs)\varphi(S_t)$ da cui risulta che ${e^(-rs)\varphi(S_(t+s))}_(s\in [0,T])$ è una sub-martingala. Allora, per il Teorema di Optional Sampling si dimostra che
sicché per l'ovvia relazione $a<=b<=a -> b=a$ le due quantità coincidono, con $a$ che descrive il prezzo di un derivato Americano e $b$ che rappresenta (per la formula di rappresentazione di Feynman-Kac con $S_T$ ignoto, cioè $\varphi(S_t)=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t))\varphi(S_T)|\zeta_t]$ con ${ ( (dS_t)/(S_t)=rdt+\sigmadW_t^(\mathbb(Q)) ),( W_t^(\mathbb(Q))=W_t^(\mathbb(P))+(\mu-r)/(\sigma)t ):}$) il prezzo di un derivato Europeo esercitabile però, per definizione, soltanto a scadenza. Allora, se considero un'opzione Call e mi posiziono all'istante zero avrò $e^(-rT)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[\varphi(S_T)]=Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r \tau)\varphi(S_(\tau))]=f(0,S_0)$, il che implica che non conviene esercitare anticipatamente l'opzione perchè il payoff che si ottiene dall'esercizio anticipato coincide col payoff che si ottiene a scadenza. Pertanto la strategia ottima d'esercizio è attendere la maturity, e la forma esplicita per $f(t,S_t)$ è proprio il prezzo del derivato Europeo. Teniamo fermo anche questo risultato.
Ora passiamo al nostro problema. L'obiettivo è stabilire il valore che il funzionale di BS assume nell'insieme discreto ${t_0,...,T}$ e confrontarlo col payoff a scadenza. Nel caso di una Call Americana l'esercizio anticipato è conveniente per $L_(BS)f>(\varphi-f)$ mentre non lo è nel caso contrario. Per la relazione che ha scritto giustamente @dissonance il problema si può riscrivere nella maniera equivalente. Devo dimostrare che $f$ è soluzione del problema.
Teorema 1 - Se $f$ è soluzione del problema con ostacolo, allora $V_0(\Theta)=f(0,S_0)\in (A_(\varphi)^+ \cap A_(\varphi)^-)$. Ciò significa che per $f$ soluzione, il payoff di un portafoglio replicante valutato in zero è uguale al payoff del derivato Americano di prezzo $f(0,S_0)$, con $A_(\varphi)^+$ il sottoinsieme delle strategie autofinanzianti e predicibili che super-replicano il derivato ed $A_(\varphi)^-$ il sottoinsieme delle strategie che lo sub-replicano. La dimostrazione può essere di due tipi:
In un mercato libero da arbitraggi il payoff di un derivato Europeo è uguale in ogni istante al valore del portafoglio di replica. Infatti, stante l’analogo valore a scadenza, per la $Q$-martingalità di $V_t (\Theta)$ data dal Primo Teorema fondamentale dell'APT (da cui segue il Teorema di Valutazione Rischio-Neutrale: se in un mercato privo di arbitraggi due strumenti dallo stesso valore a scadenza devono avere lo stesso valore iniziale, allora $V_t(\Theta)=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t))V_T(\Theta)|\zeta_t]=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t))\varphi(S_T)|\zeta_t]$, dove in particolare $V_0(\Theta)=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-rT)\varphi(S_T)]$) e per la la formula di Feynman-Kac si ha che $V_0 (Θ)=φ(S_0 )$. Pertanto, essendo la maturity l’unico istante di esercizio consentito il mercato è completo. Nel caso delle opzioni americane la completezza è più difficile da ottenere dato che il derivato può essere esercitato in ogni istante. Tuttavia, per la teoria dell'arbitraggio, si possono introdurre limiti superiori e inferiori per il prezzo iniziale di un derivato Americano. Stante $A$ l’insieme delle strategie autofinanzianti e predicibili, indichiamo con $A_φ^+={Θ∈A∶V_t (Θ)≥φ(t,S_t )\,∀t∈[0,T]}$ il sottoinsieme di strategie che super-replicano il derivato (cioè quelle strategie che in ogni istante assicurano un payoff superiore a quello garantito dall’opzione ma che per questo costano di più). In assenza di arbitraggi il prezzo iniziale di un’opzione di tipo Americano non può mai essere superiore al costo di un portafoglio super-replicante poiché altrimenti, anziché comprare l’opzione (che peraltro ha un costo più alto), il mercato virerà sulla costruzione di portafogli super-replicanti che per definizione assicurano un maggior payoff. Pertanto il prezzo del derivato dovrà essere minore o uguale al costo della strategia. Analogamente, indichiamo con $A_φ^(-)={Θ∈A,∃τ∈T∶φ(τ,S_τ )≥V_τ^Θ }$ il sottoinsieme di strategie che sub-replicano il derivato (cioè quelle strategie che in ogni istante assicurano un payoff inferiore a quello garantito dall’opzione e che per questo costano meno). Di nuovo, in assenza di arbitraggi, il prezzo dell’opzione non può mai essere inferiore al costo di un portafoglio sub-replicante poiché altrimenti il mercato tenderebbe ad assumere posizione corta sul portafoglio e ad acquistare il derivato che a dispetto di un prezzo più basso assicura un maggior payoff. Pertanto il prezzo del derivato dovrà essere maggiore o uguale al costo della strategia. Ne consegue un intervallo per il prezzo iniziale di un’opzione Americana definito dalla condizione $\Sup_({\Theta \in A_(\varphi)^-})V_t(\Theta)<=f(0,S_0)<=Inf_({\Theta \in A_(\varphi)^+})V_t(\Theta)$, con $f$ rispettivamente non inferiore al maggiorante di $A_φ^(-)$ e non superiore al minorante di $A_φ^+$. Condizione che diventa $Sup_({Θ∈A_φ^(-) }) V_t (Θ)≤Sup_{τ∈T} \mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [e^(-rτ) φ(S_τ )]≤Inf_({Θ∈A_φ^+ }) V_t (Θ)$, con $Sup_{τ∈T} \mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [e^(-rτ) φ(S_τ )]=e^(-rT) \mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [φ(S_T )]=V_0 (Θ)$ . Da cui la tesi.
Teorema 2 - Se $\Theta \in (A_(\varphi)^+ \cap A_(\varphi)^-)$, allora $f$ è soluzione del problema con ostacolo e valgono le seguenti due condizioni:
1) $V_0 (Θ)=Sup_{τ∈T} E^Q [e^(-rτ) φ(τ,S_τ )]=E^Q [e^(-rτ_0 ) φ(τ_0,S_(τ_0 ) )]$;
2) $τ_0=Inf_{t∈[0,T]} {f(t,S_t )=φ(t,S_t )}$ è una strategia ottima d’esercizio.
Per $R>0$ reale generico si consideri lo stopping time $τ_R=T ∧ Inf_{t∈[0,T]} {S_t∈]0,1/R[\cup]R,+\infty[}$, con $T$ maturity dell’opzione. Definiamo poi la soluzione del problema con ostacolo come $f=f(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) ),∀τ∈\Xi$: ciò significa che il prezzo dell’opzione è valutato nel più piccolo stopping time tra $τ$ e $τ_R$, a cui è associato un valore del sottostante $S_(τ∧τ_R )$. Segue allora per il Lemma di Ito […] la dinamica $df(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) )=(∂f)/(∂t) dt+(∂f)/(∂S) dS_t+1/2 (∂^2 f)/(∂S^2 ) 〈dS_t,dS_t〉$. Pertanto, sostituendo in covarianza quadratica la (1) e raccogliendo a fattor comune i termini in dt si ottiene la dinamica del prezzo di un derivato Americano:
Per $d(e^(-r(τ∧τ_R ) ) f(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) ))=-re^(-r(τ∧τ_R ) ) fdt+e^(-r(τ∧τ_R ) ) df(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) )$ il prezzo scontato, la sostituzione della dinamica suddetta consente inoltre la derivazione della dinamica scontata:
$d(e^(-r(τ∧τ_R ) ) f)=e^(-r(τ∧τ_R ) ) [-rf+(∂f)/(∂t)+(r-q)S (∂f)/(∂S)+1/2 σ^2 S^2 (∂^2 f)/(∂S^2 )]dt+e^(-r(τ∧τ_R ) ) σS (∂f)/(∂S) dW_((τ∧τ_R ))^(\mathbb(Q))$, con $[-rf+(∂f)/(∂t)+(r-q)S (∂f)/(∂S)+1/2 σ^2 S^2 (∂^2 f)/(∂S^2 )]=L_(BS)f$.
In forma integrale
- $∫_0^(τ∧τ_R)e^(-r(τ∧τ_R ) ) L_(BS)f dt=∫_0^(τ∧τ_R)e^(-rt) L_(BS) f(t,S_t ) dt$,
- $∫_0^(τ∧τ_R)e^(-r(τ∧τ_R ) ) σS (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q))=∫_0^(τ∧τ_R)e^(-rt) σS (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q)) =∫_0^(τ∧τ_R)σ \tilde(S) (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q))$ (per $\tilde(S)_t≔(S_t)/(B_t)$)
si ottiene il prezzo scontato di un derivato Americano:
Proposizione 1 - Il valore del portafoglio autofinanziante $Θ$ scontato all’istante $τ∧τ_R$ è
La $\mathbb(Q)$-martingalità di $V_t (Θ)$ per il Primo Teorema fondamentale nonché l’assenza di componente deterministica per una martingala fanno sì che il valore di una strategia autofinanziante sia pari soltanto alla somma del suo valore iniziale e della relativa componente diffusiva. Segue la forma compatta
Studiando inoltre il comportamento di $\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)$ per $R→∞$ si dimostra che il $lim_(R→∞)\mathbb(E)[|\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (θ)-\tilde(V)_τ (θ)|^2 ]=0$, il che implica $\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)=\tilde(V)_τ (Θ)$. Presa la quantità $\mathbb(E)[(\tilde(V)_τ (θ)-\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (θ))^2 ]$, per la Proposizione 1 si ha $\mathbb(E)[(\tilde(V)_τ (θ)-\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (θ))^2 ]=E^Q [(∫_(τ∧τ_R)^(\tau) σ\tilde(S) (∂f)/(∂S) dW_t )^2 ]$. Siccome tutti gli stopping times sono compresi nell’intervallo $[0,T]$ si può fissare il sotto-intervallo $(τ∧τ_R,τ)$ come supporto di un’indicatrice, cosicché
$\mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [(∫_0^T σ\tilde(S) (∂f)/(∂S) \mathbb(I)_({τ∧τ_R≤ t ≤τ}) dW_t )^2 ]=\mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [∫_0^T (σ\tilde(S) (∂f)/(∂S) \mathbb(I)_({τ∧τ_R≤ t ≤τ}) )^2 dt]$
per l’Isometria di Ito […]. Ma per il teorema della convergenza dominata (...questo è l'unico punto che non sono riuscito a dimostrare...credo abbia a che fare con variazione quadratica del moto Browniano che si annulla ma non sono sicuro....) si dimostra che per $R→∞$ tale quantità converge a zero in media quadratica, da cui segue $\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)=\tilde(V)_τ (Θ)$. Pertanto abbiamo
dove:
- $(e^(-rτ) f(τ,S_τ ) ):=A$;
- $\tilde(V)_τ (Θ):=B$;
- $∫_0^(\tau) e^(-rt) L_(BS) f(t,S_t ) dt:=C$.
Allora, se vale la prima condizione del problema con ostacolo avrò che $L_(BS) f<0$ $\mathbb(P)$-$q.c$. da cui segue che $C<0$ $\mathbb(P)$-$q.c.$. Ma se questo è vero allora $A=B+C,C<0->A-B<0->B>A$, e quindi $V_τ (Θ)≥f(τ,S_τ )$: ciò significa che il costo della strategia autofinanziante è non inferiore al prezzo del derivato Americano, ossia $V_τ (Θ)$ super-replica il derivato. Se ne conclude che $Θ∈A_(\varphi)^+$. D’altro canto, preso l’evento ${τ_0≥τ}$ con $τ_0$ come da punto 2) del Teorema 2) da cui segue $f=f(τ_0∧τ_R,S_(τ_0∧τ_R ) )$, se si restringe la prima condizione del problema al caso $L_(BS) f=0$ si ottiene $C=0$, e quindi $e^(-r(τ_0∧τ_R ) ) f(τ_0∧τ_R,S_(τ_0∧τ_R ) )=\tilde(V)_(τ_0∧τ_R ) (Θ)$. Ma per il "benedetto" (maledetto nel mio caso...) teorema della convergenza dominata $\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)=\tilde(V)_τ (Θ)$, così $e^(-rτ_0 ) f(τ_0,S_(τ_0 ) )=\tilde(V)_(τ_0 ) (Θ)->V_(τ_0 ) (Θ)=f(τ_0,S_(τ_0 ) )$: ciò significa che il costo del portafoglio autofinanziante è pari al prezzo del derivato Americano, e siccome questa era una delle ipotesi sotto cui considerare $V_τ (Θ)$ strategia sub-replicante, allora $Θ∈A_(\varphi)^-$. Sicché per $Θ∈(A_(\varphi)^+ \cap A_(\varphi)^- )$ segue la validità delle due relazioni precedenti, nel senso che il più piccolo stopping time $τ_0∈\Xi$ è effettivamente l’istante in cui conviene esercitare l’opzione perché è quello che soddisfa la Definizione (1), e quindi $f$ è soluzione del problema. Tuttavia si tenga presente che tale risultato è stato ottenuto solo in forza della Proposizione (1), pertanto $f$ è soluzione del problema con ostacolo se e solo se la strategia autofinanziante $Θ$ che replica il payoff del derivato di prezzo è della forma integrale $\tilde(V)_t (Θ)=V_0 (Θ)+∫_0^t \alpha_s σ \tilde(S)_s dW_s$ (con $\alpha$ il processo che indica la quota di ricchezza da investire nell’attivo rischioso per assicurarsi l’esatta replica del derivato. Vale a dire $\alpha≡Δ≔(∂f)/(∂S)$). Resta quindi da verificare che il portafoglio scontato sia realmente della forma di cui alla Proposizione (1). Sia $Θ=(α_t,β_t )$ con $V_t (Θ)=α_t S_t+β_t B_t$ la dinamica di un portafoglio replicante. Inoltre, per definizione (...) la dinamica di un portafoglio autofinanziante è $dV_t=∑_(k=1)^(d+1)[θ_t^k dP_t^k+θ_t^k P_t^k D_t^k dt]$ . Esplicitando allora le quote di $θ$ si ottiene
con $β_t B_t qdt=0$ per definizione di bond. Sostituendovi la (1) nonché la dinamica di un titolo non rischioso coerente con un modello di tipo BS si ha $dV_t=α_t [rS_t dt+σS_t dW_t ]+rβ_t B_t dt$, sicché per $β_t B_t=V_t-α_t S_t$ risulta $dV_t=α_t σS_t dW_t+rV_t dt$. Posto allora $\tilde(V)_t≔(V_t)/(B_t)$ con $dV ̃_t=d(e^(-rt) V_t )=-re^(-rt) V_t dt+e^(-rt) dV_t$, segue
che in forma integrale $\tilde(V)_t=V_0+∫_0^t α_s σ \tilde(S)_s dW_s$ .
Quindi $f$ è soluzione del problema.
se $f$ è soluzione del problema perché non conviene esercitare anticipatamente la Call Americana? cioè perché $L_(BS)f<(\varphi-f)$? io ho dimostrato che $L_(BS)f=0$ quando $\Theta \in A_(\varphi)^-$, quindi dire che $V_(\tau)(\Theta)>=f(\tau,S_(\tau))$ equivale a dire che $L_(BS)f<0$?
Spero di aver chiarito il mio dubbio, e mi scuso per essermi dilungato così tanto
Poi
Bando alle ciance, ti scrivo quello che tra appunti, libri e il tuo post ho ricostruito. Spero che leggerai tutto anche se è un pò lungo...
Allora...
Poniamoci sotto lo spazio filtrato $(\Omega, \zeta, {\zeta_t}_(t \in [0,T]), \mathbb(P))$ e assumiamo l'esistenza di $\mathbb(Q)$-martingala equivalente. Assumiamo poi un modello di mercato di tipo BS in maniera tale che il processo di prezzi ${S_t}_(t\in [0,+\infty))$ evolva secondo un MBG di forma ${ ( (dS_t)/(S_t)=(r-q)dt+\sigmadW_t^(\mathbb(Q)) ),( S_0=s \in \mathbb(R)^+ ):}$ (1). Risalta nella $\mathbb(Q)$-dinamica la presenza del tasso privo di rischio quale conseguenza dell'applicazione del Teorema di Girsanov nonché del dividend yield $q$ (dato che nelle opzioni Americane i dividendi rivestono una grande importanza per l'eventuale esercizio anticipato). Se ne consideri poi il prezzo scontato $\tilde(S)_t:=(S_t)/(B_t)$ la cui dinamica è $(d \tilde(S)_t)/(\tilde(S)_t)=-r \tilde(S)_tdt+ e^(-rt)dS_t$, pertanto sostituendovi il MGB precedente si ottiene la dinamica del prezzo scontato di un'opzione Americana: $(d \tilde(S)_t)/(\tilde(S)_t)=-q \tilde(S)_tdt+ \sigma \tilde(S)_t dW_t^(\mathbb(Q))$ (2). Teniamo presente questo risultato che ci servirà in seguito.
Definizione 1 - $\tau_0$ è strategia $\mathbb(Q)$-ottima se $\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r \tau_0) \varphi(\tau_0, S_(\tau_0))]=Sup_({\tau \in \Xi})\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r \tau) \varphi(\tau, S_(\tau))]$, con $\Xi=(\tau_0,...,\tau_n)$ l'insieme delle possibili strategie d'esercizio e $\tau_0 \in \Xi$ il più piccolo stopping time.
Definizione 2 - Il prezzo di un'opzione Americana è una funzione $f(t,S_t)=C^(1,2)([0,T] xx \mathbb(R)^+)$ tale per cui $f(t,S_t)=Sup_({\tau \in \Xi})\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t)) \varphi(\tau, S_(\tau)^(t,S))]$, con $S^(t,S)=S_0e^((r-(\sigma^2)/(2)-q)t+dW_t^(\mathbb(Q))$ soluzione della SDE (1) e per $\tau:=T-t$ la vita residua dell'opzione. Per comodità da qui in avanti $f(t,S_t)=f$.
Si può fornire una forma esplicita a tale prezzo. Se $f$ è il prezzo del derivato Americano di payoff $\varphi : I-> \mathbb(R)^+$ con $\varphi(0,S_0):=0$, allora per la definizione di convessità posso considerare qualsiasi $x_0$ coppia di reali. Fisso per comodità $y=0$ da cui $\varphi(\lambda x)<=\lambda \varphi(x)$. Assumendo $\lambda:=e^(-rs)$ e $x:=S_(t+s)$, sfruttando la disuguaglianza di Jensen e per il Primo Teorema fondamentale della valutazione secondo cui $S$ è una $\mathbb(Q)$-martingala (da cui per derivazione anche $\varphi$ in quanto funzione di $S$), si ha $e^(-rs)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[\varphi(S_(t+s))|\zeta_t]>= e^(-rs)\varphi(S_t)$ da cui risulta che ${e^(-rs)\varphi(S_(t+s))}_(s\in [0,T])$ è una sub-martingala. Allora, per il Teorema di Optional Sampling si dimostra che
$Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(\tau-t)) \varphi(S_(\tau))|\zeta_t]<=e^(-r(T-t))\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[\varphi(S_T)|\zeta_t]<=Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(\tau-t)) \varphi(S_(\tau))|\zeta_t]$
sicché per l'ovvia relazione $a<=b<=a -> b=a$ le due quantità coincidono, con $a$ che descrive il prezzo di un derivato Americano e $b$ che rappresenta (per la formula di rappresentazione di Feynman-Kac con $S_T$ ignoto, cioè $\varphi(S_t)=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t))\varphi(S_T)|\zeta_t]$ con ${ ( (dS_t)/(S_t)=rdt+\sigmadW_t^(\mathbb(Q)) ),( W_t^(\mathbb(Q))=W_t^(\mathbb(P))+(\mu-r)/(\sigma)t ):}$) il prezzo di un derivato Europeo esercitabile però, per definizione, soltanto a scadenza. Allora, se considero un'opzione Call e mi posiziono all'istante zero avrò $e^(-rT)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[\varphi(S_T)]=Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r \tau)\varphi(S_(\tau))]=f(0,S_0)$, il che implica che non conviene esercitare anticipatamente l'opzione perchè il payoff che si ottiene dall'esercizio anticipato coincide col payoff che si ottiene a scadenza. Pertanto la strategia ottima d'esercizio è attendere la maturity, e la forma esplicita per $f(t,S_t)$ è proprio il prezzo del derivato Europeo. Teniamo fermo anche questo risultato.
Ora passiamo al nostro problema. L'obiettivo è stabilire il valore che il funzionale di BS assume nell'insieme discreto ${t_0,...,T}$ e confrontarlo col payoff a scadenza. Nel caso di una Call Americana l'esercizio anticipato è conveniente per $L_(BS)f>(\varphi-f)$ mentre non lo è nel caso contrario. Per la relazione che ha scritto giustamente @dissonance il problema si può riscrivere nella maniera equivalente. Devo dimostrare che $f$ è soluzione del problema.
Teorema 1 - Se $f$ è soluzione del problema con ostacolo, allora $V_0(\Theta)=f(0,S_0)\in (A_(\varphi)^+ \cap A_(\varphi)^-)$. Ciò significa che per $f$ soluzione, il payoff di un portafoglio replicante valutato in zero è uguale al payoff del derivato Americano di prezzo $f(0,S_0)$, con $A_(\varphi)^+$ il sottoinsieme delle strategie autofinanzianti e predicibili che super-replicano il derivato ed $A_(\varphi)^-$ il sottoinsieme delle strategie che lo sub-replicano. La dimostrazione può essere di due tipi:
DIMOSTRAZIONE INTUITIVA
In un mercato libero da arbitraggi il payoff di un derivato Europeo è uguale in ogni istante al valore del portafoglio di replica. Infatti, stante l’analogo valore a scadenza, per la $Q$-martingalità di $V_t (\Theta)$ data dal Primo Teorema fondamentale dell'APT (da cui segue il Teorema di Valutazione Rischio-Neutrale: se in un mercato privo di arbitraggi due strumenti dallo stesso valore a scadenza devono avere lo stesso valore iniziale, allora $V_t(\Theta)=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t))V_T(\Theta)|\zeta_t]=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t))\varphi(S_T)|\zeta_t]$, dove in particolare $V_0(\Theta)=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-rT)\varphi(S_T)]$) e per la la formula di Feynman-Kac si ha che $V_0 (Θ)=φ(S_0 )$. Pertanto, essendo la maturity l’unico istante di esercizio consentito il mercato è completo. Nel caso delle opzioni americane la completezza è più difficile da ottenere dato che il derivato può essere esercitato in ogni istante. Tuttavia, per la teoria dell'arbitraggio, si possono introdurre limiti superiori e inferiori per il prezzo iniziale di un derivato Americano. Stante $A$ l’insieme delle strategie autofinanzianti e predicibili, indichiamo con $A_φ^+={Θ∈A∶V_t (Θ)≥φ(t,S_t )\,∀t∈[0,T]}$ il sottoinsieme di strategie che super-replicano il derivato (cioè quelle strategie che in ogni istante assicurano un payoff superiore a quello garantito dall’opzione ma che per questo costano di più). In assenza di arbitraggi il prezzo iniziale di un’opzione di tipo Americano non può mai essere superiore al costo di un portafoglio super-replicante poiché altrimenti, anziché comprare l’opzione (che peraltro ha un costo più alto), il mercato virerà sulla costruzione di portafogli super-replicanti che per definizione assicurano un maggior payoff. Pertanto il prezzo del derivato dovrà essere minore o uguale al costo della strategia. Analogamente, indichiamo con $A_φ^(-)={Θ∈A,∃τ∈T∶φ(τ,S_τ )≥V_τ^Θ }$ il sottoinsieme di strategie che sub-replicano il derivato (cioè quelle strategie che in ogni istante assicurano un payoff inferiore a quello garantito dall’opzione e che per questo costano meno). Di nuovo, in assenza di arbitraggi, il prezzo dell’opzione non può mai essere inferiore al costo di un portafoglio sub-replicante poiché altrimenti il mercato tenderebbe ad assumere posizione corta sul portafoglio e ad acquistare il derivato che a dispetto di un prezzo più basso assicura un maggior payoff. Pertanto il prezzo del derivato dovrà essere maggiore o uguale al costo della strategia. Ne consegue un intervallo per il prezzo iniziale di un’opzione Americana definito dalla condizione $\Sup_({\Theta \in A_(\varphi)^-})V_t(\Theta)<=f(0,S_0)<=Inf_({\Theta \in A_(\varphi)^+})V_t(\Theta)$, con $f$ rispettivamente non inferiore al maggiorante di $A_φ^(-)$ e non superiore al minorante di $A_φ^+$. Condizione che diventa $Sup_({Θ∈A_φ^(-) }) V_t (Θ)≤Sup_{τ∈T} \mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [e^(-rτ) φ(S_τ )]≤Inf_({Θ∈A_φ^+ }) V_t (Θ)$, con $Sup_{τ∈T} \mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [e^(-rτ) φ(S_τ )]=e^(-rT) \mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [φ(S_T )]=V_0 (Θ)$ . Da cui la tesi.
DIMOSTRAZIONE MATEMATICA
Teorema 2 - Se $\Theta \in (A_(\varphi)^+ \cap A_(\varphi)^-)$, allora $f$ è soluzione del problema con ostacolo e valgono le seguenti due condizioni:
1) $V_0 (Θ)=Sup_{τ∈T} E^Q [e^(-rτ) φ(τ,S_τ )]=E^Q [e^(-rτ_0 ) φ(τ_0,S_(τ_0 ) )]$;
2) $τ_0=Inf_{t∈[0,T]} {f(t,S_t )=φ(t,S_t )}$ è una strategia ottima d’esercizio.
Per $R>0$ reale generico si consideri lo stopping time $τ_R=T ∧ Inf_{t∈[0,T]} {S_t∈]0,1/R[\cup]R,+\infty[}$, con $T$ maturity dell’opzione. Definiamo poi la soluzione del problema con ostacolo come $f=f(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) ),∀τ∈\Xi$: ciò significa che il prezzo dell’opzione è valutato nel più piccolo stopping time tra $τ$ e $τ_R$, a cui è associato un valore del sottostante $S_(τ∧τ_R )$. Segue allora per il Lemma di Ito […] la dinamica $df(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) )=(∂f)/(∂t) dt+(∂f)/(∂S) dS_t+1/2 (∂^2 f)/(∂S^2 ) 〈dS_t,dS_t〉$. Pertanto, sostituendo in covarianza quadratica la (1) e raccogliendo a fattor comune i termini in dt si ottiene la dinamica del prezzo di un derivato Americano:
$df(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) )=[(∂f)/(∂t)+(r-q)S (∂f)/(∂S)+1/2 σ^2 S^2 (∂^2 f)/(∂s^2 )]dt+σS (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q))$
Per $d(e^(-r(τ∧τ_R ) ) f(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) ))=-re^(-r(τ∧τ_R ) ) fdt+e^(-r(τ∧τ_R ) ) df(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) )$ il prezzo scontato, la sostituzione della dinamica suddetta consente inoltre la derivazione della dinamica scontata:
$d(e^(-r(τ∧τ_R ) ) f)=e^(-r(τ∧τ_R ) ) [-rf+(∂f)/(∂t)+(r-q)S (∂f)/(∂S)+1/2 σ^2 S^2 (∂^2 f)/(∂S^2 )]dt+e^(-r(τ∧τ_R ) ) σS (∂f)/(∂S) dW_((τ∧τ_R ))^(\mathbb(Q))$, con $[-rf+(∂f)/(∂t)+(r-q)S (∂f)/(∂S)+1/2 σ^2 S^2 (∂^2 f)/(∂S^2 )]=L_(BS)f$.
In forma integrale
$e^(-r(τ∧τ_R ) ) f(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) )=f(0,S_0 )+∫_0^(τ∧τ_R)e^(-r(τ∧τ_R ) ) L_(BS)f dt+∫_0^(τ∧τ_R)e^(-r(τ∧τ_R ) ) σS (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q) ]$
Posto $f(0,S_0 )=V_0 (Θ)$ per quanto visto prima, e per- $∫_0^(τ∧τ_R)e^(-r(τ∧τ_R ) ) L_(BS)f dt=∫_0^(τ∧τ_R)e^(-rt) L_(BS) f(t,S_t ) dt$,
- $∫_0^(τ∧τ_R)e^(-r(τ∧τ_R ) ) σS (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q))=∫_0^(τ∧τ_R)e^(-rt) σS (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q)) =∫_0^(τ∧τ_R)σ \tilde(S) (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q))$ (per $\tilde(S)_t≔(S_t)/(B_t)$)
si ottiene il prezzo scontato di un derivato Americano:
$e^(-r(τ∧τ_R ) ) f(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) )=V_0 (Θ)+∫_0^(τ∧τ_R)e^(-rt) L_(BS) f(t,S_t ) dt+∫_0^(τ∧τ_R)σ \tilde(S) (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q)) $
Proposizione 1 - Il valore del portafoglio autofinanziante $Θ$ scontato all’istante $τ∧τ_R$ è
$\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)=V_0 (Θ)+∫_0^(τ∧τ_R)σ \tilde(S) (∂f)/(∂S) dW_t^(\mathbb(Q))$
La $\mathbb(Q)$-martingalità di $V_t (Θ)$ per il Primo Teorema fondamentale nonché l’assenza di componente deterministica per una martingala fanno sì che il valore di una strategia autofinanziante sia pari soltanto alla somma del suo valore iniziale e della relativa componente diffusiva. Segue la forma compatta
$e^(-r(τ∧τ_R ) ) f(τ∧τ_R,S_(τ∧τ_R ) )=\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)+∫_0^(τ∧τ_R)e^(-rt) L_(BS) f(t,S_t )dt$
Studiando inoltre il comportamento di $\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)$ per $R→∞$ si dimostra che il $lim_(R→∞)\mathbb(E)[|\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (θ)-\tilde(V)_τ (θ)|^2 ]=0$, il che implica $\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)=\tilde(V)_τ (Θ)$. Presa la quantità $\mathbb(E)[(\tilde(V)_τ (θ)-\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (θ))^2 ]$, per la Proposizione 1 si ha $\mathbb(E)[(\tilde(V)_τ (θ)-\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (θ))^2 ]=E^Q [(∫_(τ∧τ_R)^(\tau) σ\tilde(S) (∂f)/(∂S) dW_t )^2 ]$. Siccome tutti gli stopping times sono compresi nell’intervallo $[0,T]$ si può fissare il sotto-intervallo $(τ∧τ_R,τ)$ come supporto di un’indicatrice, cosicché
$\mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [(∫_0^T σ\tilde(S) (∂f)/(∂S) \mathbb(I)_({τ∧τ_R≤ t ≤τ}) dW_t )^2 ]=\mathbb(E)^(\mathbb(Q)) [∫_0^T (σ\tilde(S) (∂f)/(∂S) \mathbb(I)_({τ∧τ_R≤ t ≤τ}) )^2 dt]$
per l’Isometria di Ito […]. Ma per il teorema della convergenza dominata (...questo è l'unico punto che non sono riuscito a dimostrare...credo abbia a che fare con variazione quadratica del moto Browniano che si annulla ma non sono sicuro....) si dimostra che per $R→∞$ tale quantità converge a zero in media quadratica, da cui segue $\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)=\tilde(V)_τ (Θ)$. Pertanto abbiamo
$(e^(-rτ) f(τ,S_τ ) )=\tilde(V)_τ (Θ)+∫_0^(\tau) e^(-rt) L_(BS) f(t,S_t ) dt$
dove:
- $(e^(-rτ) f(τ,S_τ ) ):=A$;
- $\tilde(V)_τ (Θ):=B$;
- $∫_0^(\tau) e^(-rt) L_(BS) f(t,S_t ) dt:=C$.
Allora, se vale la prima condizione del problema con ostacolo avrò che $L_(BS) f<0$ $\mathbb(P)$-$q.c$. da cui segue che $C<0$ $\mathbb(P)$-$q.c.$. Ma se questo è vero allora $A=B+C,C<0->A-B<0->B>A$, e quindi $V_τ (Θ)≥f(τ,S_τ )$: ciò significa che il costo della strategia autofinanziante è non inferiore al prezzo del derivato Americano, ossia $V_τ (Θ)$ super-replica il derivato. Se ne conclude che $Θ∈A_(\varphi)^+$. D’altro canto, preso l’evento ${τ_0≥τ}$ con $τ_0$ come da punto 2) del Teorema 2) da cui segue $f=f(τ_0∧τ_R,S_(τ_0∧τ_R ) )$, se si restringe la prima condizione del problema al caso $L_(BS) f=0$ si ottiene $C=0$, e quindi $e^(-r(τ_0∧τ_R ) ) f(τ_0∧τ_R,S_(τ_0∧τ_R ) )=\tilde(V)_(τ_0∧τ_R ) (Θ)$. Ma per il "benedetto" (maledetto nel mio caso...) teorema della convergenza dominata $\tilde(V)_(τ∧τ_R ) (Θ)=\tilde(V)_τ (Θ)$, così $e^(-rτ_0 ) f(τ_0,S_(τ_0 ) )=\tilde(V)_(τ_0 ) (Θ)->V_(τ_0 ) (Θ)=f(τ_0,S_(τ_0 ) )$: ciò significa che il costo del portafoglio autofinanziante è pari al prezzo del derivato Americano, e siccome questa era una delle ipotesi sotto cui considerare $V_τ (Θ)$ strategia sub-replicante, allora $Θ∈A_(\varphi)^-$. Sicché per $Θ∈(A_(\varphi)^+ \cap A_(\varphi)^- )$ segue la validità delle due relazioni precedenti, nel senso che il più piccolo stopping time $τ_0∈\Xi$ è effettivamente l’istante in cui conviene esercitare l’opzione perché è quello che soddisfa la Definizione (1), e quindi $f$ è soluzione del problema. Tuttavia si tenga presente che tale risultato è stato ottenuto solo in forza della Proposizione (1), pertanto $f$ è soluzione del problema con ostacolo se e solo se la strategia autofinanziante $Θ$ che replica il payoff del derivato di prezzo è della forma integrale $\tilde(V)_t (Θ)=V_0 (Θ)+∫_0^t \alpha_s σ \tilde(S)_s dW_s$ (con $\alpha$ il processo che indica la quota di ricchezza da investire nell’attivo rischioso per assicurarsi l’esatta replica del derivato. Vale a dire $\alpha≡Δ≔(∂f)/(∂S)$). Resta quindi da verificare che il portafoglio scontato sia realmente della forma di cui alla Proposizione (1). Sia $Θ=(α_t,β_t )$ con $V_t (Θ)=α_t S_t+β_t B_t$ la dinamica di un portafoglio replicante. Inoltre, per definizione (...) la dinamica di un portafoglio autofinanziante è $dV_t=∑_(k=1)^(d+1)[θ_t^k dP_t^k+θ_t^k P_t^k D_t^k dt]$ . Esplicitando allora le quote di $θ$ si ottiene
$dV_t=α_t dS_t+α_t S_t qdt+β_t dB_t+β_t B_t qdt=α_t [dS_t+qS_t dt]+β_t dB_t$
con $β_t B_t qdt=0$ per definizione di bond. Sostituendovi la (1) nonché la dinamica di un titolo non rischioso coerente con un modello di tipo BS si ha $dV_t=α_t [rS_t dt+σS_t dW_t ]+rβ_t B_t dt$, sicché per $β_t B_t=V_t-α_t S_t$ risulta $dV_t=α_t σS_t dW_t+rV_t dt$. Posto allora $\tilde(V)_t≔(V_t)/(B_t)$ con $dV ̃_t=d(e^(-rt) V_t )=-re^(-rt) V_t dt+e^(-rt) dV_t$, segue
$d \tilde(V)_t=-re^(-rt) V_t dt+e^(-rt) [α_t σS_t dW_t+rV_t dt]=α_t σe^(-rt) S_t dW_t=α_t σ \tilde(S)_t dW_t$
che in forma integrale $\tilde(V)_t=V_0+∫_0^t α_s σ \tilde(S)_s dW_s$ .
Quindi $f$ è soluzione del problema.
Domanda
(la cui risposta è già inclusa nella dimostrazione ma che non riesco a "capire" del tutto)
se $f$ è soluzione del problema perché non conviene esercitare anticipatamente la Call Americana? cioè perché $L_(BS)f<(\varphi-f)$? io ho dimostrato che $L_(BS)f=0$ quando $\Theta \in A_(\varphi)^-$, quindi dire che $V_(\tau)(\Theta)>=f(\tau,S_(\tau))$ equivale a dire che $L_(BS)f<0$?
Spero di aver chiarito il mio dubbio, e mi scuso per essermi dilungato così tanto
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