Problema con delta di dirac

[andrealaposta]

Salve, sono un ingegnere meccanico. Essendo appassionato di matematica, ultimamente sto studiando degli appunti trovati in internet su argomenti che mi interessano( trasformate di Fourier, funzioni di Green, delta di Dirac).
A proposito del delta di Dirac ho trovato su degli appunti una catena di uguaglianze che è un po' oscura.
Questa catene potrebbe essere spiegata dalla seguente uguaglianza che non so però,se è vera.
Allego l'uguaglianza di cui sopra, se qualcuno ,che conosce l'argomento meglio di me, potesse darmi dei lumi ne sarei molto contento.

[gugo82]

Sì, vabbè, ma quali sono queste uguaglianze?

[andrealaposta]

l'uguaglianza in questione sarebbe
$ X(omega )delta (omega )=X(0)delta (omega ) $
dove $ X(omega ) $ è la trasformata di fourier di una funzione x(t).

[Flamber]

Ora non so di che uguaglianze tu stia parlando, ma ti do un consiglio. Molta gente si avvicina alla delta di Dirac per “necessità”, ad esempio per teoria dei segnali, controlli automatici, Sistemi LTI etc. il problema è che ognuna di queste discipline introduce la Delta in maniera un pò troppo applicativa, ed ho visto tante volte la gente utilizzarla in maniera “fantasiosa” arrivando a conclusioni clamorosamente errate. Ti consiglio quindi prima di tutto di studiarla come parte di un discorso più generale sulla teoria delle distribuzioni, che è il suo “habitat naturale”, questo ti permetterà di contestualizzarla correttamente nelle applicazioni.

[gugo82]

È la proprietà di campionamento...

Mi associo all'invito di Flamber: per favore, prima di metterti a smanettare con questi strumenti avanzati, studiati un po' di teoria.

[Flamber]

"Aristo100":l'uguaglianza in questione sarebbe
$ X(omega )delta (omega )=X(0)delta (omega ) $
dove $ X(omega ) $ è la trasformata di fourier di una funzione x(t).

Quella uguaglianza viene fuori dal calcolo dell'azione della distribuzione su un segnale test $\varphi$, cioè una funzione $C^oo(RR)$ a supporto compatto.

$ = int_(-oo)^(+oo)x(t)\delta(t)\varphi(t)dt = int_(-oo)^(+oo)\delta(t)[x(t)*\varphi(t)]dt = <\delta,x*\varphi>$

Si può dimostrare che (con un piccolo abuso di notazione):

$<\delta,x*\varphi> = x(0)*\varphi(0) = x(0)<\delta,\varphi>$

e quindi:

$ = $

Per ogni segnale test $\varphiinD(RR)$ quindi vale $x(t)*d(t) = x(0)*d(t)$ in $D'(RR)$ (insieme delle distribuzioni)

Questo discorso ovviamente lo puoi fare indentico in frequenza (basta sotituire tutte le t con f )

Ora, quello che ho scritto non è per scoraggiarti nello studio della delta di Dirac, ma è solo per mostrarti quanto questa sia parte di un discorso molto più generale, di cui dovresti quantomeno farti un'idea. Se ti serve lo solo lo stretto indispensabile per andare avanti negli argomenti di tuo interesse che hai citato, non è che ci devi perdere dei mesi sopra diventando un esperto, un'idea base della teoria delle distribuzione te la puoi fare con un paio di pomeriggi di studio

[dissonance]

Per queste cose consiglio il libro di Bracewell:

https://www.amazon.co.uk/Fourier-Transf ... 0071160434

L'autore era un ingegnere elettronico: https://en.wikipedia.org/wiki/Ronald_N._Bracewell

Quel libro mi piace molto perché pur essendo accettabilmente rigoroso, è orientato alle applicazioni e non si perde troppo nella teoria.

[andrealaposta]

Ti ringrazio molto. Penso che acquisterò anche il libro.

[dissonance]

Prima dagli un'occhiata, su internet ne puoi trovare facilmente un pdf.