Problema con delta di dirac

[fdr3]

Non riesco a capire questo risultato:
$\int\delta(sinx)e^{-x}dx=frac{1}{1-e^-\pi}$ se l'integrale va da -1 a infinito, mentre viene $\frac{1}{2tanh(\pi/2)}$ se lo stesso integrale va da 0 a infinito.

Per come l'ho risolto io mi viene entrambe le volte la prima soluzione. Non capisco il ruolo degli estremi in questo tipo di problemi,
Grazie!

[gugo82]

A quanto posso capire, dato che la notazione fa schifo, hai:
\[
\delta (\sin x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta (x-n\pi)
\]
quindi, dato che le $delta$ campionano nel punto in cui sono centrate:
\[
\begin{split}
\int_{-1}^\infty \delta (\sin x)\ e^{-x}\ \text{d} x &= \sum_{n=0}^\infty e^{-n\pi} \\
&= \frac{1}{1-e^{-\pi}}\\
\int_0^\infty \delta (\sin x)\ e^{-x}\ \text{d} x &= \sum_{n=1}^\infty e^{-n\pi} \\
&= \frac{1}{1-e^{-\pi}} - 1\\
&= \frac{e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}
\end{split}
\]
e non mi pare che l'ultima quantità sia uguale a quella che riporti.

[fdr3]

Grazie della risposta, ma gli esercizi ancora no mi tornano. Ad esempio:

$I=\int_0^\infty\delta(4^xsenx)dx$

dove, come hai già capito, intendo $\delta(4^xsenx)=sum_-\infty^infty \frac{\delta(x-n\pi)}{4^{n\pi}}$

mi viene allora $I=sum_1^\infty4^{-k\pi}=\frac{1}{1-4^{-\pi}}-1=\frac{1}{4^{\pi}-1}$

mentre la soluzione dovrebbe essere $I=\frac{4^{pi}+1}{2(4^{pi}-1)}$

[anonymous_0b37e9]

Il risultato torna se aggiungi metà del contributo per $[k=0]$:

$[I=1/2+\sum_{k=1}^(+oo)4^(-k\pi)=(4^\pi+1)/(2(4^\pi-1))]$