Precompattezza e distanze (uniformemente) equivalenti
Ciao! Ho una domanda stupida sugli spazi metrici. È vero che, se \( E \) è un insieme e \( d \) e \( d^\prime \) sono due distanze equivalenti su \( E \), allora \( E \) è \( d \)-precompatto se e solo se è \( d^\prime \)-precompatto? (Con "\( d \)-precompatto" ovviamente intendo "si fa ricoprire da un numero finito di \( d \)-palle di raggio \( \epsilon > 0 \) arbitrario").
Credo che la risposta sia no e che il possibile controesempio sia astruso. Segnalo che non è vero che, se \( d \) e \( d^\prime \) sono equivalenti, allora esistono costanti \( \alpha > 0 \) e \( \beta > 0 \) tali che
\[
\alpha d(x,y)\leqq d^\prime(x,y)\leqq \beta d(x,y)
\] per ogni \( x,y\in E \). Ad esempio, le distanze \( d \) e \( d_1(x,y) = \frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)} \) sono addirittura uniformemente equivalenti, ma un \( \alpha > 0 \) del genere -se non sbaglio io- non c'è.
Se si definisce l'equivalenza di due distanze "con \( \alpha \) e \( \beta \)" quello che chiedo è ovvio. E se due distanze si dicono (uniformemente) equivalenti quando la funzione \( f(x) = x \) è (uniformemente) bicontinua?
Credo che la risposta sia no e che il possibile controesempio sia astruso. Segnalo che non è vero che, se \( d \) e \( d^\prime \) sono equivalenti, allora esistono costanti \( \alpha > 0 \) e \( \beta > 0 \) tali che
\[
\alpha d(x,y)\leqq d^\prime(x,y)\leqq \beta d(x,y)
\] per ogni \( x,y\in E \). Ad esempio, le distanze \( d \) e \( d_1(x,y) = \frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)} \) sono addirittura uniformemente equivalenti, ma un \( \alpha > 0 \) del genere -se non sbaglio io- non c'è.
Se si definisce l'equivalenza di due distanze "con \( \alpha \) e \( \beta \)" quello che chiedo è ovvio. E se due distanze si dicono (uniformemente) equivalenti quando la funzione \( f(x) = x \) è (uniformemente) bicontinua?
Risposte
Mi sembra più che altro una questione di notazioni. "Distanze equivalenti" per me sono due distanze che verificano quelle due disuguaglianze che tu dici; ovviamente con questa nozione di equivalenza tutte le proprietà metriche, tra cui la precompattezza, sono preservate.
Quanto alle distanze $d$ e $d_1$ che citi, non sbagli, non sono equivalenti in generale, visto che \(d\) può non essere limitata mentre \(d_1\) lo è sempre.
Comunque, ora non ho riflettuto sulla nozione di equivalenza che proponi, ma sicuramente affinché la precompattezza sia preservata, è sufficiente che le due distanze inducano la stessa topologia. Infatti, precompatto è un insieme che ha la chiusura compatta, nel senso topologico dei ricoprimenti; negli spazi metrici, questo è equivalente alla caratterizzazione che citi.
Quanto alle distanze $d$ e $d_1$ che citi, non sbagli, non sono equivalenti in generale, visto che \(d\) può non essere limitata mentre \(d_1\) lo è sempre.
Comunque, ora non ho riflettuto sulla nozione di equivalenza che proponi, ma sicuramente affinché la precompattezza sia preservata, è sufficiente che le due distanze inducano la stessa topologia. Infatti, precompatto è un insieme che ha la chiusura compatta, nel senso topologico dei ricoprimenti; negli spazi metrici, questo è equivalente alla caratterizzazione che citi.
Mi sa che c'è davvero un casino con le notazioni. Io di solito dico che due distanze \( d \) e \( d^\prime \) sono:
[*:2d7hk8lb] equivalenti, se la funzione \( x\mapsto x \) è un omeomorfismo tra \( (E,d) \) e \( (E,d^\prime) \);[/*:m:2d7hk8lb]
[*:2d7hk8lb] uniformemente equivalenti se la funzione \( x\mapsto x \) è uniformemente continua come funzione \( (E,d)\to (E,d^\prime) \) e come funzione \( (E,d^\prime)\to (E,d) \).[/*:m:2d7hk8lb][/list:u:2d7hk8lb] In questo modo le distanze \( d \) e \( d_1\) sono uniformemente equivalenti nel senso mio, ma non equivalenti nel senso tuo (per dire, \( d_1 \) ce l'avevo in mente proprio come esempio di distanza limitata equivalente a un qualsiasi distanza data).
"dissonance":Ok questo non lo sapevo. Adesso è tardi ma domani lo dimostro. Grazie!
precompatto è un insieme che ha la chiusura compatta, nel senso topologico dei ricoprimenti; negli spazi metrici, questo è equivalente alla caratterizzazione che citi.
Equivalenti nel senso metrico sono due distanze per cui l'identità è bi-Lipschitziana. Equivalenti nel senso topologico sono due distanze per cui l'identità è un omeomorfismo (la prima delle tue definizioni). La mia affermazione è che la precompattezza è una proprietà topologica, ovvero, che è preservata dall'equivalenza in senso topologico.
Un momento. State intendendo due cose diverse con precompattezza, per come la intende marco non è una proprietà topologica, ma metrica. E gli insiemi che la soddisfano non cambiano al cambiare di metriche unifomemente equivalenti, ma possono al cambiare di metriche solo equivalenti. Ad esempio se prendi una metrica illimitata su $(0,1)$ che lo renda equivalente a $RR$, e lo confronti con quella indotta dall'euclidea, nel primo caso non è precompatto (termine che comunque terrei per il significato di dissonance, per l'altro userei totale limitatezza) perchè non è nemmeno limitato, mentre nel secondo si.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo