Polinomio complesso il cui modulo è minore di uno sul disco unitario.
Sia \( p(z) = \sum\limits_{n=0}^{N} a_nz^n \) un polinomio complesso tale che \( \begin{vmatrix} p(z) \end{vmatrix} \leq 1 \) nel disco unitario \( \overline{D(0,1)} \) dimostra che
\[ \begin{vmatrix} a_n \end{vmatrix} \leq 1; \ \ \ \ \forall n \in \{ 0,\ldots,N\}. \]
Sia \( f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nz^n \) una funzione analitica che converge nel disco unitario \( D(0,1) \) e tale che \( \begin{vmatrix} f(z) \end{vmatrix} \leq 1 \) per ogni \(z \in D(0,1) \) dimostra che
\[ \begin{vmatrix} a_n \end{vmatrix} \leq 1; \ \ \ \ \forall n \in \mathbb{N}. \]
Dimostra che sotto le stesse ipotesi abbiamo che
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_n \end{vmatrix}^2 \leq 1.\]
Pensavo di farlo per induzione il punto 1)
Chiaramente con \( N=0 \) abbiamo che \( p(z)=a_0 \) pertanto segue direttamente che \( \begin{vmatrix} a_0 \end{vmatrix} \leq 1 \)
Supponiamo vero con \( N \), vogliamo mostrare che implica che sia vero con \( N+1 \). Per ipotesi abbiamo che
\[\begin{vmatrix} \sum\limits_{n=0}^{N} a_nz^n + a_{N+1}z^{N+1} \end{vmatrix}\leq 1 \]
\[\begin{vmatrix}a_{N+1} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \sum\limits_{n=0}^{N} \frac{a_n}{a_{N+1}}z^n + z^{N+1} \end{vmatrix}\leq 1 \]
Abbiamo dunque che
\[ \begin{vmatrix}a_{N+1} \end{vmatrix} \leq \frac{1}{\begin{vmatrix} \sum\limits_{n=0}^{N} \frac{a_n}{a_{N+1}}z^n + z^{N+1} \end{vmatrix}} \]
Devo dimostrare dunque che \[ \begin{vmatrix} \sum\limits_{n=0}^{N} \frac{a_n}{a_{N+1}}z^n + z^{N+1} \end{vmatrix} \geq 1 \]
Ma non ho idea di come fare...
Ho provato anche per assurdo... Supponiamo che esista un \( 0 \leq k \leq N\) tale per cui \( \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} > 1 \) voglio arrivare a dimostrare che sotto questa ipotesi esiste \( z_0 \in \overline{D(0,1) } \) tale che per cui \( \begin{vmatrix} p(z_0) \end{vmatrix} \).
Okay \( k > 0 \) siccome \( z_0 =0\) implica \( 1 < \begin{vmatrix} a_0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} p(z_0) \end{vmatrix} \leq 1 \) assurdo..
Ma poi... ?
Suggerimenti?
\[ \begin{vmatrix} a_n \end{vmatrix} \leq 1; \ \ \ \ \forall n \in \{ 0,\ldots,N\}. \]
Sia \( f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nz^n \) una funzione analitica che converge nel disco unitario \( D(0,1) \) e tale che \( \begin{vmatrix} f(z) \end{vmatrix} \leq 1 \) per ogni \(z \in D(0,1) \) dimostra che
\[ \begin{vmatrix} a_n \end{vmatrix} \leq 1; \ \ \ \ \forall n \in \mathbb{N}. \]
Dimostra che sotto le stesse ipotesi abbiamo che
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_n \end{vmatrix}^2 \leq 1.\]
Pensavo di farlo per induzione il punto 1)
Chiaramente con \( N=0 \) abbiamo che \( p(z)=a_0 \) pertanto segue direttamente che \( \begin{vmatrix} a_0 \end{vmatrix} \leq 1 \)
Supponiamo vero con \( N \), vogliamo mostrare che implica che sia vero con \( N+1 \). Per ipotesi abbiamo che
\[\begin{vmatrix} \sum\limits_{n=0}^{N} a_nz^n + a_{N+1}z^{N+1} \end{vmatrix}\leq 1 \]
\[\begin{vmatrix}a_{N+1} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \sum\limits_{n=0}^{N} \frac{a_n}{a_{N+1}}z^n + z^{N+1} \end{vmatrix}\leq 1 \]
Abbiamo dunque che
\[ \begin{vmatrix}a_{N+1} \end{vmatrix} \leq \frac{1}{\begin{vmatrix} \sum\limits_{n=0}^{N} \frac{a_n}{a_{N+1}}z^n + z^{N+1} \end{vmatrix}} \]
Devo dimostrare dunque che \[ \begin{vmatrix} \sum\limits_{n=0}^{N} \frac{a_n}{a_{N+1}}z^n + z^{N+1} \end{vmatrix} \geq 1 \]
Ma non ho idea di come fare...
Ho provato anche per assurdo... Supponiamo che esista un \( 0 \leq k \leq N\) tale per cui \( \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} > 1 \) voglio arrivare a dimostrare che sotto questa ipotesi esiste \( z_0 \in \overline{D(0,1) } \) tale che per cui \( \begin{vmatrix} p(z_0) \end{vmatrix} \).
Okay \( k > 0 \) siccome \( z_0 =0\) implica \( 1 < \begin{vmatrix} a_0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} p(z_0) \end{vmatrix} \leq 1 \) assurdo..
Ma poi... ?
Suggerimenti?
Risposte
Magari dico baggianate, ma
abbiamo che il polinomio \( p(z) = \sum\limits_{n=0}^{N} a_n z^n \) pertanto per trovare il \( k\)-esimo coefficiente è sufficiente prendere la \(k\)-esima derivata e valutarla in zero. Ottenendo
\[ a_k = \frac{p^{(k)}(0)}{k!} \]
Prendiamo il cammino \( \gamma : [0,2\pi] \to \overline{D(0,1)} \) dove \( \gamma(t) = e^{it} \) e calcoliamone la lunghezza:
\[ \ell (\gamma) = \int_{0}^{2\pi} \begin{vmatrix}i e^{it} \end{vmatrix}dt = 2\pi \]
(effettivamente è un cerchio di raggio 1... non so perché la circonferenza l'ho calcolata così
)
Per il lemma di Darboux abbiamo che
\[ \oint_{\gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} dz \leq \ell(\gamma) \max_{z \in \gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} = 2\pi \max_{z \in \gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} \]
Che dite?
Devo dimostrare dunque che per ogni \( k\)-esima derivata abbiamo \(\max_{z \in \gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} \leq 1 \) che equivale a dimostrare che
\[ \oint_{\gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} dz \leq 2 \pi \]
abbiamo che il polinomio \( p(z) = \sum\limits_{n=0}^{N} a_n z^n \) pertanto per trovare il \( k\)-esimo coefficiente è sufficiente prendere la \(k\)-esima derivata e valutarla in zero. Ottenendo
\[ a_k = \frac{p^{(k)}(0)}{k!} \]
Prendiamo il cammino \( \gamma : [0,2\pi] \to \overline{D(0,1)} \) dove \( \gamma(t) = e^{it} \) e calcoliamone la lunghezza:
\[ \ell (\gamma) = \int_{0}^{2\pi} \begin{vmatrix}i e^{it} \end{vmatrix}dt = 2\pi \]
(effettivamente è un cerchio di raggio 1... non so perché la circonferenza l'ho calcolata così
)Per il lemma di Darboux abbiamo che
\[ \oint_{\gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} dz \leq \ell(\gamma) \max_{z \in \gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} = 2\pi \max_{z \in \gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} \]
Che dite?
Devo dimostrare dunque che per ogni \( k\)-esima derivata abbiamo \(\max_{z \in \gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} \leq 1 \) che equivale a dimostrare che
\[ \oint_{\gamma} \begin{vmatrix} \frac{f^{(k)}(z)}{k!} \end{vmatrix} dz \leq 2 \pi \]
Allora usando la formula integrale di Cauchy (che non abbiamo visto a corso, quindi immagino vi sia una soluzione che non richiede la formula integrale di Cauchy) per la domanda (1) risulta
\[ a_k = \frac{p^{(k)}(0)}{k! } = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{p(\xi)}{\xi^{k+1}}d\xi \]
Dove \( \gamma \) è il cammino definito nel mio commento precedente.
E pertanto risulta che
\[ \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma} \frac{\begin{vmatrix}p(\xi)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\xi^{k+1}\end{vmatrix}}d\xi \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma} \begin{vmatrix}p(\xi)\end{vmatrix}d\xi \leq \frac{1}{2 \pi} \ell(\gamma) \max_{z \in \gamma} \begin{vmatrix} p(z) \end{vmatrix} = 1 \]
Per la domanda (2) abbiamo che in quanto \( f \) è analitica è olomorfa e pertanto possiamo applicare la formula integrale di Cauchy e sostanzialmente si segue la stessa linea della domanda (1)
Per quanto riguarda la domanda (3) la mia idea è di dimostrare che \( \forall k \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} f^{(k)}(z) \end{vmatrix} < 1 \) sul disco unitario aperto. In modo da poter maggiorare la serie per una serie convergente a qualcosa di \( \leq 1 \).
Le mie domande sono
1) I punti (1) e (2) vi sembrnao corretti così?
2) Qual'è il modo di risolvere questo esercizio senza utilizzare la formula integrale di Cauchy? Perché ho "barato", noi non abbiamo ancora visto la formula integrale di Cauchy
3) Per il punto (3) avete qualche hint?
\[ a_k = \frac{p^{(k)}(0)}{k! } = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{p(\xi)}{\xi^{k+1}}d\xi \]
Dove \( \gamma \) è il cammino definito nel mio commento precedente.
E pertanto risulta che
\[ \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma} \frac{\begin{vmatrix}p(\xi)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\xi^{k+1}\end{vmatrix}}d\xi \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{\gamma} \begin{vmatrix}p(\xi)\end{vmatrix}d\xi \leq \frac{1}{2 \pi} \ell(\gamma) \max_{z \in \gamma} \begin{vmatrix} p(z) \end{vmatrix} = 1 \]
Per la domanda (2) abbiamo che in quanto \( f \) è analitica è olomorfa e pertanto possiamo applicare la formula integrale di Cauchy e sostanzialmente si segue la stessa linea della domanda (1)
Per quanto riguarda la domanda (3) la mia idea è di dimostrare che \( \forall k \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} f^{(k)}(z) \end{vmatrix} < 1 \) sul disco unitario aperto. In modo da poter maggiorare la serie per una serie convergente a qualcosa di \( \leq 1 \).
Le mie domande sono
1) I punti (1) e (2) vi sembrnao corretti così?
2) Qual'è il modo di risolvere questo esercizio senza utilizzare la formula integrale di Cauchy? Perché ho "barato", noi non abbiamo ancora visto la formula integrale di Cauchy
3) Per il punto (3) avete qualche hint?
Non riesco proprio a sbrogliarmi
se scelgo \( z \in \mathbb{C} \) tale che \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} = 1 \) allora
\[ \begin{vmatrix} f(z) \end{vmatrix}^2 \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k\end{vmatrix}^2 \begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k} \]
Allora devo dimostrare che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k\end{vmatrix}^2 \begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k} \leq 1 \]
Ma abbiamo \( \forall R < 1 \)
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k\end{vmatrix}^2 \begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k} \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{4\pi^2}\begin{pmatrix} \oint_{\partial D(0,R)}\frac{\begin{vmatrix} f(\xi)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\xi^{k+1} \end{vmatrix}} d\xi \end{pmatrix}^2 \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{4\pi^2}\begin{pmatrix} \oint_{\partial D(0,R)}\frac{1}{R^{k+1}} d\xi \end{pmatrix}^2 \]
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{4\pi^2} \begin{pmatrix} \oint_{\partial D(0,R)}\frac{1}{R^{k+1}} d\xi \end{pmatrix}^2 \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{4\pi^2} \frac{4 R^2 \pi^2}{R^{2k+2}} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{R^{2k}} = \frac{R^2}{R^2 - \begin{vmatrix} z \end{vmatrix}^2} \]
Solo se \( R > \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} \), ma noi abbiamo il contrario...
se scelgo \( z \in \mathbb{C} \) tale che \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} = 1 \) allora
\[ \begin{vmatrix} f(z) \end{vmatrix}^2 \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k\end{vmatrix}^2 \begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k} \]
Allora devo dimostrare che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k\end{vmatrix}^2 \begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k} \leq 1 \]
Ma abbiamo \( \forall R < 1 \)
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k\end{vmatrix}^2 \begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k} \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{4\pi^2}\begin{pmatrix} \oint_{\partial D(0,R)}\frac{\begin{vmatrix} f(\xi)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\xi^{k+1} \end{vmatrix}} d\xi \end{pmatrix}^2 \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{4\pi^2}\begin{pmatrix} \oint_{\partial D(0,R)}\frac{1}{R^{k+1}} d\xi \end{pmatrix}^2 \]
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{4\pi^2} \begin{pmatrix} \oint_{\partial D(0,R)}\frac{1}{R^{k+1}} d\xi \end{pmatrix}^2 \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{4\pi^2} \frac{4 R^2 \pi^2}{R^{2k+2}} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}^{2k}}{R^{2k}} = \frac{R^2}{R^2 - \begin{vmatrix} z \end{vmatrix}^2} \]
Solo se \( R > \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} \), ma noi abbiamo il contrario...
Credo di esserci riuscito, ma in fondo ho delle riflessioni a cui non mi so rispondere.
per tutti \(\theta \in \mathbb{R} \), abbiamo
\[ \frac{1}{2\pi } \oint_{\partial D(0,1)} \begin{vmatrix} f(e^{i \theta}) \end{vmatrix}^2 d\theta = \frac{1}{2\pi } \oint_{\partial D(0,1)} f(e^{i \theta}) \overline{f(e^{i \theta})} d\theta= \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k e^{i \theta k}\end{pmatrix} \overline{ \begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n e^{i \theta n}\end{pmatrix}} d\theta \]
\[= \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \sum\limits_{k,n=0}^{\infty} a_k\overline{a_n}e^{i(k-n)\theta} d\theta = \sum\limits_{k,n=0}^{\infty} a_k\overline{a_n} \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)}e^{i(k-n)\theta}\]
L'integrale è uguale a \( 2 \pi \) se e solo se \( k=n \) altrimenti è uguale a \( 0 \), e dunque abbiamo
\[ \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \begin{vmatrix} f(e^{i \theta}) \end{vmatrix}^2 d\theta = \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k\overline{a_k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix}^2 \]
Pertanto
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix}^2 = \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \begin{vmatrix} f(e^{i \theta}) \end{vmatrix}^2 d\theta \leq \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} 1 d\theta = 1 \]
L'unica cosa di cui non sono sicuro è il fatto che l'ipotesi è che \( f \) è analitica e converge sul disco unitario aperto \( D(0,1) \) e non sul disco chiuso \( \overline{D(0,1)} \) pertanto non sono sicuro del fatto che
\[ \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \begin{vmatrix} f(e^{i \theta}) \end{vmatrix}^2 d\theta \leq \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} 1 d\theta = 1 \]
Magari dovrei prendere un disco di raggio \( R < 1 \) e magari è lecito far tendere \( R \to 1 \) siccome deve valere per ogni raggio \( R < 1 \)? Mi chiedevo pertanto se qualcuno sa dirmi il motivo per cui è richiesto che il disco sia aperto, nel senso che se \( f \) analitica è continua, quindi se sul disco aperto abbiamo che \( \begin{vmatrix} f \end{vmatrix} \leq 1 \) allora anche sul bordo del disco dovrebbe valere la stessa condizione in quanto supponendo per assurdo che \( f \) assume nel punto \( \xi \) sul bordo un valore \( f(\xi ) \) tale che \( \begin{vmatrix} f(\xi) \end{vmatrix} > 1 = 1 + \epsilon \) allora è contradetta la continuitià della funzione. Più in generale le mie domande sono
1) Se la \( f \) è definita come nel punto (2) del problema è vero che è analitica e convergente anche su \( \overline{D(0,1)} \) tolti nel caso i punti dove non è definita? Possono esistere dei punti dove non è definita ?
2) Se è affermativa la domanda al punto 1) è vero che su \( \partial \overline{D(0,1)} \) (nel caso intersecato dove è definita), abbiamo che \( \begin{vmatrix} f(z) \end{vmatrix} \leq 1 \) ?
Grazie in anticipo a chiunque risponda, sempre che tale risolutore di dubbi esista
per tutti \(\theta \in \mathbb{R} \), abbiamo
\[ \frac{1}{2\pi } \oint_{\partial D(0,1)} \begin{vmatrix} f(e^{i \theta}) \end{vmatrix}^2 d\theta = \frac{1}{2\pi } \oint_{\partial D(0,1)} f(e^{i \theta}) \overline{f(e^{i \theta})} d\theta= \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k e^{i \theta k}\end{pmatrix} \overline{ \begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n e^{i \theta n}\end{pmatrix}} d\theta \]
\[= \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \sum\limits_{k,n=0}^{\infty} a_k\overline{a_n}e^{i(k-n)\theta} d\theta = \sum\limits_{k,n=0}^{\infty} a_k\overline{a_n} \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)}e^{i(k-n)\theta}\]
L'integrale è uguale a \( 2 \pi \) se e solo se \( k=n \) altrimenti è uguale a \( 0 \), e dunque abbiamo
\[ \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \begin{vmatrix} f(e^{i \theta}) \end{vmatrix}^2 d\theta = \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k\overline{a_k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix}^2 \]
Pertanto
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix}^2 = \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \begin{vmatrix} f(e^{i \theta}) \end{vmatrix}^2 d\theta \leq \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} 1 d\theta = 1 \]
L'unica cosa di cui non sono sicuro è il fatto che l'ipotesi è che \( f \) è analitica e converge sul disco unitario aperto \( D(0,1) \) e non sul disco chiuso \( \overline{D(0,1)} \) pertanto non sono sicuro del fatto che
\[ \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} \begin{vmatrix} f(e^{i \theta}) \end{vmatrix}^2 d\theta \leq \frac{1}{2\pi} \oint_{\partial D(0,1)} 1 d\theta = 1 \]
Magari dovrei prendere un disco di raggio \( R < 1 \) e magari è lecito far tendere \( R \to 1 \) siccome deve valere per ogni raggio \( R < 1 \)? Mi chiedevo pertanto se qualcuno sa dirmi il motivo per cui è richiesto che il disco sia aperto, nel senso che se \( f \) analitica è continua, quindi se sul disco aperto abbiamo che \( \begin{vmatrix} f \end{vmatrix} \leq 1 \) allora anche sul bordo del disco dovrebbe valere la stessa condizione in quanto supponendo per assurdo che \( f \) assume nel punto \( \xi \) sul bordo un valore \( f(\xi ) \) tale che \( \begin{vmatrix} f(\xi) \end{vmatrix} > 1 = 1 + \epsilon \) allora è contradetta la continuitià della funzione. Più in generale le mie domande sono
1) Se la \( f \) è definita come nel punto (2) del problema è vero che è analitica e convergente anche su \( \overline{D(0,1)} \) tolti nel caso i punti dove non è definita? Possono esistere dei punti dove non è definita ?
2) Se è affermativa la domanda al punto 1) è vero che su \( \partial \overline{D(0,1)} \) (nel caso intersecato dove è definita), abbiamo che \( \begin{vmatrix} f(z) \end{vmatrix} \leq 1 \) ?
Grazie in anticipo a chiunque risponda, sempre che tale risolutore di dubbi esista
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