\( \pi(x) \not= \frac{x}{\log x} + O\left( \frac{x}{(\log x)^A} \right) \)

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Per questo esercizio avrei una domanda sul "remark" che fa.

Dimostra che per ogni \( N \in \mathbb{N} \) abbiamo
\[ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{\log x} \sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(\log x)^n} + O_N \left( \frac{x}{(\log x)^{N+1}} \right) \]

Remark: Questo dimostra che non è vero che \( \pi(x) = \frac{x}{\log x} + O\left( \frac{x}{(\log x)^A} \right) \) con \( A > 2 \).

Ora non capisco bene come possa l'esercizio dimostrare il remark.

In primo luogo se \(N=1 \) abbiamo che
\[ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{\log x} \sum_{n=0}^{0} \frac{n!}{(\log x)^n} + O_0 \left( \frac{x}{(\log x)^{1}} \right) = \frac{x}{\log x} + O_0 \left( \frac{x}{(\log x)} \right) \]
e dunque siccome
\[ \pi(x) = \operatorname{Li}(x) + O\left( x e^{- c \sqrt{ \log x} } \right) = \frac{x}{\log x} + O_0 \left( \frac{x}{(\log x)} \right) \]
e okay.
Ma non vedo come se \( N > 1 \), esclude altri esponenti nell error term di \( \pi(x) \).

[dissonance]

Beh si, per \(N=1\) il termine principale nell’errore \(O(\frac{x}{\log^2 x})\) è dato da
\[
\frac{x}{\log^2 x},\]
che è l’addendo successivo nella serie.