Piccolissimo dubbio su una notazione
Salve a tutti!
Leggendo un libro viene spesso utilizzata questa notazione. Faccio un esempio tratto da una parte di un teorema (di Morrey):
"Sia $p>N$, per ogni $u in W^{1,p}(RR^n)$, abbiamo $|u(x)-u(y)|<=C|x-y|^alpha ||nablau||_p$ per q.o. $x,y in RR^n$".
Il fatto è che l'insieme dei punti $(x,y)$ sta in $RR^(2n)$ e quindi mi sembra un po' strana come notazione, o per lo meno a me sembra controintuitiva. All'inizio ho pensato che fissando $x$, quella disuguaglianza valesse per q.o $y in R^n$ ma questo mi sembra falso in generale.
Forse quello che dice l'autore è equivalente a dire che la disugualianza vale per q.o. $(x,y) in RR^(2n)$?
Leggendo un libro viene spesso utilizzata questa notazione. Faccio un esempio tratto da una parte di un teorema (di Morrey):
"Sia $p>N$, per ogni $u in W^{1,p}(RR^n)$, abbiamo $|u(x)-u(y)|<=C|x-y|^alpha ||nablau||_p$ per q.o. $x,y in RR^n$".
Il fatto è che l'insieme dei punti $(x,y)$ sta in $RR^(2n)$ e quindi mi sembra un po' strana come notazione, o per lo meno a me sembra controintuitiva. All'inizio ho pensato che fissando $x$, quella disuguaglianza valesse per q.o $y in R^n$ ma questo mi sembra falso in generale.
Forse quello che dice l'autore è equivalente a dire che la disugualianza vale per q.o. $(x,y) in RR^(2n)$?
Risposte
Sicuramente vuole dire "per quasi ogni \(x\in\mathbb R^n\) e per quasi ogni \(y\in \mathbb R^n\)", abbreviato in "per quasi ogni \(x, y\in \mathbb R^n\)".
Neanche questa notazione mi è troppo chiara, più che altro non saprei esprimerla matematicamente .
Per esempio, consideriamo una proprietà $P(x)$ su $RR^n$ che può essere vera o falsa.
Allora per definizione $P(x)$ è vera per q.o $x$ se l'insieme $N \subset RR^n$ in cui la proprietà è falsa ha misura nulla.
Invece in questo caso non riesco. Cioè se abbiamo $P(x,y)$ vera per q.o. $x in RR^n$ e q.o $y in RR^n$, come posso esprimere questa cosa in termini di insiemi e misure?
Forse vuol dire che $C_x:={x in RR^n | P(x,y)$ è vera per qualche $y}$, $C_y:={y in RR^n | P(x,y)$ è vera per qualche $x}$ hanno entrambi complementare di misura nulla?
Io avevo pensato a $C:={(x,y) \in RR^(2n) | P(x,y)}$ ha complementare di misura nulla in $RR^(2n)$, mi sembrava la cosa più logica.
Per esempio, consideriamo una proprietà $P(x)$ su $RR^n$ che può essere vera o falsa.
Allora per definizione $P(x)$ è vera per q.o $x$ se l'insieme $N \subset RR^n$ in cui la proprietà è falsa ha misura nulla.
Invece in questo caso non riesco. Cioè se abbiamo $P(x,y)$ vera per q.o. $x in RR^n$ e q.o $y in RR^n$, come posso esprimere questa cosa in termini di insiemi e misure?
Forse vuol dire che $C_x:={x in RR^n | P(x,y)$ è vera per qualche $y}$, $C_y:={y in RR^n | P(x,y)$ è vera per qualche $x}$ hanno entrambi complementare di misura nulla?
Io avevo pensato a $C:={(x,y) \in RR^(2n) | P(x,y)}$ ha complementare di misura nulla in $RR^(2n)$, mi sembrava la cosa più logica.
Non mi ci scervellerei troppo, sicuramente chi ha scritto il testo non ci ha pensato più di tanto. In ogni caso la tua ultima interpretazione, quella con $\mathbb R^{2n} $, è sicuramente corretta.
Sicuramente, solo che non capire l`enunciato di un teorema è fastidioso: non sai cosa stai cercando di dimostrare. Ti ringrazio per la conferma comunque!
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