Permutazione limite integrale.
Avrei una domanda sul seguente esercizio
Siano \( - \infty < a < b < \infty \) e per \( n \in \mathbb{N} \) siano \( f, f_n : (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) misurabili tali che
1) Per ogni \( n \in \mathbb{N} , f, f_n \in L^1(a,b) \)
2) \( \lim_{n\to \infty} \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}(a,b)} = 0 \)
Dimostra che \[ \lim_{n \to \infty} \int_{(a,b)} f_n = \int_{(a,b)} f \]
Ora il risultato segue dal fatto che se \( f_n \to f \) in \( L^{\infty}(a,b) \) allora \( f_n \to f \) puntualmente quasi ovunque e dal teorema di convergenza dominata.
Ma se nel ipotesi 2) sostituissimo \( f_n \to f \) in \( L^p(a,b) \) , con \( 1 \leq p < \infty \) allora sappiamo che esiste solo una sotto-successione \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque.
Possiamo dunque concludere quanto segue?
\[ \lim_{k \to \infty} \int_{(a,b)} f_{n_k} = \int_{(a,b)} f \]
Per \( \epsilon >0 \) e \(K \) sufficientemente grande tale che per ogni \( n_k > n_K \) risulta che \( \left| f_{n_k} -f \right| \leq \epsilon \), poniamo \( g:= \{ \left|f_{n_1} \right|, \ldots, \left|f_{n_K} \right|, \left| f \right| + \epsilon \} \)
Dovremmo avere infatti che \( \left| g \right| \leq \left| f \right| + \epsilon + \sum_{j=1}^{K} \left| f_{n_j} \right| \) e dunque \( g \in L^1(a,b) \). Inoltre per ciascun \( f_{n_k} \) abbiamo che se \( n_k \leq n_K \) risulta che
\[ \left| f_{n_k} \right| \leq \left| g \right| \]
Mentre se \( n_k > n_K \) allora
\[ \left| f_{n_k} \right| \leq \left| f_{n_k} -f \right| + \left| f \right| \leq \epsilon +\left| f \right| \leq g \]
Siano \( - \infty < a < b < \infty \) e per \( n \in \mathbb{N} \) siano \( f, f_n : (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) misurabili tali che
1) Per ogni \( n \in \mathbb{N} , f, f_n \in L^1(a,b) \)
2) \( \lim_{n\to \infty} \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}(a,b)} = 0 \)
Dimostra che \[ \lim_{n \to \infty} \int_{(a,b)} f_n = \int_{(a,b)} f \]
Ora il risultato segue dal fatto che se \( f_n \to f \) in \( L^{\infty}(a,b) \) allora \( f_n \to f \) puntualmente quasi ovunque e dal teorema di convergenza dominata.
Ma se nel ipotesi 2) sostituissimo \( f_n \to f \) in \( L^p(a,b) \) , con \( 1 \leq p < \infty \) allora sappiamo che esiste solo una sotto-successione \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque.
Possiamo dunque concludere quanto segue?
\[ \lim_{k \to \infty} \int_{(a,b)} f_{n_k} = \int_{(a,b)} f \]
Per \( \epsilon >0 \) e \(K \) sufficientemente grande tale che per ogni \( n_k > n_K \) risulta che \( \left| f_{n_k} -f \right| \leq \epsilon \), poniamo \( g:= \{ \left|f_{n_1} \right|, \ldots, \left|f_{n_K} \right|, \left| f \right| + \epsilon \} \)
Dovremmo avere infatti che \( \left| g \right| \leq \left| f \right| + \epsilon + \sum_{j=1}^{K} \left| f_{n_j} \right| \) e dunque \( g \in L^1(a,b) \). Inoltre per ciascun \( f_{n_k} \) abbiamo che se \( n_k \leq n_K \) risulta che
\[ \left| f_{n_k} \right| \leq \left| g \right| \]
Mentre se \( n_k > n_K \) allora
\[ \left| f_{n_k} \right| \leq \left| f_{n_k} -f \right| + \left| f \right| \leq \epsilon +\left| f \right| \leq g \]
Risposte
"3m0o":
[...] risulta che \( \left| f_{n_k} -f \right| \leq \epsilon \), [...]
Questa stima non vale in maniera uniforme, la convergenza è solo puntuale (quasi ovunque). \( n_K \) ed \( \epsilon \) dipendono dal punto. In particolare non è chiaro se \( g \in L^1 \) (perché quando scrivi \(|g| \le \dots \), la stima vale puntualmente, ma cambiando punto cambia anche il \(K\)).
Le soluzioni dell'esercizio originario fanno la stessa cosa quando \[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \to 0 \]
Come mai l'argomentazione non è più valida quando \[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{p}} \to 0 \] con \( 1 \leq p < \infty \) ?
edit:
Io direi che \( n_K \) e \( \epsilon \) non dipendono dal punto siccome per ipotesi per ogni \( \epsilon \) esiste \( n_K \) tale che per ogni \( n \geq n_K \) abbiamo
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{p}} \leq \epsilon \]
e quindi in particolare per ogni \(n_k \geq n_K \)
\[ \left| f_{n_k} - f \right| \leq \epsilon \]
quasi ovunque
Come mai l'argomentazione non è più valida quando \[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{p}} \to 0 \] con \( 1 \leq p < \infty \) ?
edit:
Io direi che \( n_K \) e \( \epsilon \) non dipendono dal punto siccome per ipotesi per ogni \( \epsilon \) esiste \( n_K \) tale che per ogni \( n \geq n_K \) abbiamo
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{p}} \leq \epsilon \]
e quindi in particolare per ogni \(n_k \geq n_K \)
\[ \left| f_{n_k} - f \right| \leq \epsilon \]
quasi ovunque
"3m0o":
Le soluzioni dell'esercizio originario fanno la stessa cosa quando \[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \to 0 \]
Come mai l'argomentazione non è più valida quando \[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{p}} \to 0 \] con \( 1 \leq p < \infty \) ? [...]
La dimostrazione nel caso \( L^\infty \) è banale perché l'insieme su cui stai integrando ha misura finita e quindi \( \|f\|_{L^\infty} + C \) maggiora in maniera uniforme \( |f_n| \).
"3m0o":
Io direi che \( n_K \) e \( \epsilon \) non dipendono dal punto siccome per ipotesi per ogni \( \epsilon \) esiste \( n_K \) tale che per ogni \( n \geq n_K \) abbiamo
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{p}} \leq \epsilon \]
e quindi in particolare per ogni \(n_k \geq n_K \)
\[ \left| f_{n_k} - f \right| \leq \epsilon \]
quasi ovunque
Di nuovo, c'è un'implicazione errata in quello che scrivi. \( \|f_n - f \|_{L^p} \to 0 \) implica che esiste una sottosuccessione \( \{ f_{n_k} \} \) di \( \{f_n \} \) tale che \( f_{n_k} (x) \to f(x) \) per quasi ogni \(x \in (a,b)\). Il che significa che, fissato \(x \in (a,b) \), per ogni \( \epsilon >0 \) esiste un \( n_K \) tale che \( n_k \ge n_K\) implica \( |f_{n_k} (x) - f(x)| < \epsilon \) (per quasi ogni \(x\)). Quello che hai scritto tu è molto più forte (e probabilmente falso).
Scusami, ma non vedo differenza (se non che in un caso ho la successione intera e nell'altro solo una sotto-successione) dalle due argomentazioni seguenti:
Abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( N \) tale che \( n \geq N \) tale che
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \leq \epsilon \]
e dunque \( (f_n)_n \to f \) puntualmente quasi ovunque pertanto per ogni \( n \geq N \) abbiamo che
\[ \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq \epsilon \]
Abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( n_K \) tale che \( n \geq n_K \) tale che
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{p}} \leq \epsilon \]
e dunque esiste \( (f_{n_k})_k \to f \) puntualmente quasi ovunque pertanto per ogni \( n_k \geq n_K \) abbiamo che
\[ \left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| \leq \epsilon \]
Il fatto che la convergenza puntuale sia quasi ovunque e non ovunque non cambia il risultato dell'integrale, siccome ha misura nulla laddove \( f_{n_k} \) non converge e pertanto posso assegnarli un valore arbitrario e cambiare rappresentante nella sua classe di equivalenza in \(L^p \).
Edit: e quindi intendo "up to sub-sequence" che converge puntualmente quasi ovunque a \( f \)
Abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( N \) tale che \( n \geq N \) tale che
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \leq \epsilon \]
e dunque \( (f_n)_n \to f \) puntualmente quasi ovunque pertanto per ogni \( n \geq N \) abbiamo che
\[ \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq \epsilon \]
Abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( n_K \) tale che \( n \geq n_K \) tale che
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{p}} \leq \epsilon \]
e dunque esiste \( (f_{n_k})_k \to f \) puntualmente quasi ovunque pertanto per ogni \( n_k \geq n_K \) abbiamo che
\[ \left| f_{n_k}(x) - f(x) \right| \leq \epsilon \]
Il fatto che la convergenza puntuale sia quasi ovunque e non ovunque non cambia il risultato dell'integrale, siccome ha misura nulla laddove \( f_{n_k} \) non converge e pertanto posso assegnarli un valore arbitrario e cambiare rappresentante nella sua classe di equivalenza in \(L^p \).
Edit: e quindi intendo "up to sub-sequence" che converge puntualmente quasi ovunque a \( f \)
Non hai letto quello che ho scritto. Tu vuoi applicare il teorema della convergenza dominata, no? E allora ti serve una funzione integrabile che maggiori uniformemente (in \(n\)) la successione. Nel caso in cui \( \|f_n -f \|_{L^\infty} \to 0 \) la maggiorante è una costante, i.e. \( \|f\|_{L^\infty} +C \). Nel caso in cui \( \|f_n -f\|_{L^p} \to 0 \) come costruisci la maggiorante? Ti ho già fatto notare sopra che \( n_K\) dipende dal punto \(x \); in particolare la successione dei \(K\) può essere divergente. Nel tuo primo post hai scritto:
A parte il fatto che sembra mancare un \( \sup \) nella definizione di \(g\)... questa stima che fai vale in un punto specifico \(x\), NON in (quasi) tutti i punti. Ogni punto \(x\), per \(\epsilon\) fissato, avrà il suo \(n_K(x)\). Nel tuo argomento c'è un solo \(K\) per (quasi) tutti i punti (oppure la successione dei \(K\) è limitata); ma questo non è mica vero in generale. Lo sarebbe se la convergenza della sottosuccessione fosse uniforme q.o., ma non lo è.
"3m0o":
[...] Per \( \epsilon >0 \) e \(K \) sufficientemente grande tale che per ogni \( n_k > n_K \) risulta che \( \left| f_{n_k} -f \right| \leq \epsilon \), poniamo \( g:= \{ \left|f_{n_1} \right|, \ldots, \left|f_{n_K} \right|, \left| f \right| + \epsilon \} \) Dovremmo avere infatti che \( \left| g \right| \leq \left| f \right| + \epsilon + \sum_{j=1}^{K} \left| f_{n_j} \right| \) [...]
A parte il fatto che sembra mancare un \( \sup \) nella definizione di \(g\)... questa stima che fai vale in un punto specifico \(x\), NON in (quasi) tutti i punti. Ogni punto \(x\), per \(\epsilon\) fissato, avrà il suo \(n_K(x)\). Nel tuo argomento c'è un solo \(K\) per (quasi) tutti i punti (oppure la successione dei \(K\) è limitata); ma questo non è mica vero in generale. Lo sarebbe se la convergenza della sottosuccessione fosse uniforme q.o., ma non lo è.
L'ho letto. Ma evidentemente non capisco. Probabilmente allora non ho capito la dimostrazione dell'esercizio iniziale perché mi sembra poter essere applicata (cambiando la successione con una sotto-successione) ad \( L^p \). Pertanto posto la dimostrazione dell'esercizio iniziale scrivendo come io giustifico i passaggi tra le parentesi quadre.
Sia \( \epsilon >0 \), per l'ipotesi che \( \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \to 0 \) abbiamo che esiste \(N \in \mathbb{N} \) tale per cui per ogni \( n \geq N \)
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \leq \epsilon \]
[ Qui sto semplicemente applicando la definizione di limite ]
Questo implica in particolare che per ogni \( n \geq N \)
\[ \left| f_n - f \right| \leq \epsilon \]
quasi ovunque. E dunque \( f_n \to f \) puntualmente quasi ovunque
[ Inizialmente ho capito che la convergenza è puntuale ma \(N \) non dipende da \( x \) perché scelto in base alla definizione del limite di \( \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \). Ma da quello che mi dici te \(N\) dipende da \(x \) perché la \(N \) è scelta in modo da soddisfare le due condizioni, quella di limite e quella di convergenza puntuale quindi è il massimo su due "\(N\)" a priori distinte. ]
Sia ora
\[ g:= \max ( \left| f_1 \right| , \ldots, \left| f_{N-1} \right|, \left| f \right| + \epsilon ) \]
Abbiamo che
\[ 0 \leq g \leq \sum_{n=1}^{N-1} \left| f_n \right| + \left| f \right| + \epsilon \]
In più visto che \((a,b) \) è un intervallo limitato la funzione \( \epsilon \in L^1 \) dunque il membro di destra è \(L^1 \) siccome somma di funzioni \( L^1 \). E per monotonia dell'integrale abbiamo che \( g \in L^1 \).
[ Questa stima vale in ogni punto, anche se \(N \) dipende da \(x \), e giustifica che \( g \) è \(L^1 \) quindi la prima ipotesi del teorema di convergenza dominata è soddisfatta.]
Dimostriamo che \( \left| f_n \right| \leq g \) quasi ovunque per tutti gli \(n \in \mathbb{N} \).
Se \( n \leq N-1 \) il risultato è evidente per definizione di \( g \). Se \( n \geq N \) abbiamo che quasi ovunque
\[ \left| f_n \right| \leq \left| f_n - f \right| + \left| f \right| \leq \left| f \right| + \epsilon \leq g \]
[Nella prima disuguaglianza abbiamo semplicemente usato la dis. triangolare, nella seconda disuguaglianza abbiamo usato la convergenza puntuale di \( f_n \to f \) quasi ovunque e nell' ultima la definizione di \(g \). Ora anche se \(N \) dipende da \( x \) per quasi tutti gli \(x \) abbiamo che vi è un suo \(N \) associato pertanto \( \left| f_n \right| \leq g \) per quasi tutti gli \(x \). E quindi anche la seconda ipotesi del teorema della convergenza dominata vale. ]
Non ho capito quale passaggio non è più valido in questa dimostrazione in \( L^p \) sostituendo \( f_{n} \) con una sottosuccessione \(f_{n_k} \) tale che \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque
Sia \( \epsilon >0 \), per l'ipotesi che \( \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \to 0 \) abbiamo che esiste \(N \in \mathbb{N} \) tale per cui per ogni \( n \geq N \)
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \leq \epsilon \]
[ Qui sto semplicemente applicando la definizione di limite ]
Questo implica in particolare che per ogni \( n \geq N \)
\[ \left| f_n - f \right| \leq \epsilon \]
quasi ovunque. E dunque \( f_n \to f \) puntualmente quasi ovunque
[ Inizialmente ho capito che la convergenza è puntuale ma \(N \) non dipende da \( x \) perché scelto in base alla definizione del limite di \( \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \). Ma da quello che mi dici te \(N\) dipende da \(x \) perché la \(N \) è scelta in modo da soddisfare le due condizioni, quella di limite e quella di convergenza puntuale quindi è il massimo su due "\(N\)" a priori distinte. ]
Sia ora
\[ g:= \max ( \left| f_1 \right| , \ldots, \left| f_{N-1} \right|, \left| f \right| + \epsilon ) \]
Abbiamo che
\[ 0 \leq g \leq \sum_{n=1}^{N-1} \left| f_n \right| + \left| f \right| + \epsilon \]
In più visto che \((a,b) \) è un intervallo limitato la funzione \( \epsilon \in L^1 \) dunque il membro di destra è \(L^1 \) siccome somma di funzioni \( L^1 \). E per monotonia dell'integrale abbiamo che \( g \in L^1 \).
[ Questa stima vale in ogni punto, anche se \(N \) dipende da \(x \), e giustifica che \( g \) è \(L^1 \) quindi la prima ipotesi del teorema di convergenza dominata è soddisfatta.]
Dimostriamo che \( \left| f_n \right| \leq g \) quasi ovunque per tutti gli \(n \in \mathbb{N} \).
Se \( n \leq N-1 \) il risultato è evidente per definizione di \( g \). Se \( n \geq N \) abbiamo che quasi ovunque
\[ \left| f_n \right| \leq \left| f_n - f \right| + \left| f \right| \leq \left| f \right| + \epsilon \leq g \]
[Nella prima disuguaglianza abbiamo semplicemente usato la dis. triangolare, nella seconda disuguaglianza abbiamo usato la convergenza puntuale di \( f_n \to f \) quasi ovunque e nell' ultima la definizione di \(g \). Ora anche se \(N \) dipende da \( x \) per quasi tutti gli \(x \) abbiamo che vi è un suo \(N \) associato pertanto \( \left| f_n \right| \leq g \) per quasi tutti gli \(x \). E quindi anche la seconda ipotesi del teorema della convergenza dominata vale. ]
Non ho capito quale passaggio non è più valido in questa dimostrazione in \( L^p \) sostituendo \( f_{n} \) con una sottosuccessione \(f_{n_k} \) tale che \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque
"3m0o":
[...] Non ho capito quale passaggio non è più valido in questa dimostrazione in \( L^p \) sostituendo \( f_{n} \) con una sottosuccessione \(f_{n_k} \) tale che \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque
La costruzione della \(g\). Te l'ho spiegato sopra. Nella dimostrazione che hai riportato \(g\) viene costruita usando in maniera fondamentale il fatto che \(\|f_n - f\|_{L^\infty} \to 0\), cioè \(\text{ess} \sup (f_n - f) \to 0 \), cioè \( f_n \to f \) uniformemente "q.o.". Quell'\(N\) è "universale", cioè è fissato per tutti gli \(x\) (a meno di insiemi di misura nulla).
Ovviamente da \(\|f_n - f\|_{L^\infty} \to 0\) discende che \(| f_n (x) - f(x)| \to 0 \) per quasi ogni \(x\) e anche da \(\|f_n - f\|_{L^p} \to 0\) discende che \(| f_n (x) - f(x)| \to 0 \) per quasi ogni \(x\). Ma \(\|f_n - f\|_{L^\infty} \to 0\) è (nel nostro caso) una condizione più forte di \(\|f_n - f\|_{L^p} \to 0\) ed è da \(\|f_n - f\|_{L^\infty} \to 0\) che discende la costruzione di \(g\), NON dalla convergenza puntuale q.o.
OKay ho capito, dunque quando scrive \( \left| f_n - f \right| \leq \epsilon \) quasi ovunque non intende la convergenza puntuale ma la convergenza uniforme che segue dalla definizione di \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \). Io ero convintissimo si riferisse alla convergenza puntuale e non avevo capito quando me lo hai spiegato prima che intendevi quello. Quindi se giustificassi la definizione di \( g \) (nel caso \( L^{\infty} \) ) con la convergenza puntuale (non con la convergenza uniforme) la \(N \) dipenderebbe dalla \(x \) e la dimostrazione sarebbe ugualmente fallace?
Grazie mille per la pazienza!
Grazie mille per la pazienza!
"3m0o":
OKay ho capito, dunque quando scrive \( \left| f_n - f \right| \leq \epsilon \) quasi ovunque non intende la convergenza puntuale ma la convergenza uniforme che segue dalla definizione di \( \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \). Io ero convintissimo si riferisse alla convergenza puntuale e non avevo capito quando me lo hai spiegato prima che intendevi quello. Quindi se giustificassi la definizione di \( g \) (nel caso \( L^{\infty} \) ) con la convergenza puntuale (non con la convergenza uniforme) la \(N \) dipenderebbe dalla \(x \) e la dimostrazione sarebbe ugualmente fallace?
Grazie mille per la pazienza!
Sì. Peraltro questa intera discussione si riduce ad una riflessione sulle ipotesi del teorema della convergenza dominata: viene infatti richiesta la convergenza puntuale quasi ovunque delle \(f_n\) e l'esistenza di una maggiorante \(g\) tale che bla bla. Se la convergenza puntuale implicasse l'esistenza della maggiorante, tale ipotesi sarebbe rimossa, non credi?
Hai perfettamente ragione, se fosse il caso la prima ipotesi sarebbe ingiustificata.
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