PDEs
Salve a tutti. Avrei un dubbio su un passaggio che ho fatto per svolgere un esercizio. L'esercizio alla fine torna perciò penso che in generale la via scelta fosse quella giusta. Riporto solo la parte della soluzione di cui non sono sicuro.
Devo trovare la soluzione della seguente:
$$ \partial_t f(x,t) = t^2\partial_{xx}^2f(x,t)-t\partial_x f(x,t) + \delta(t)\delta(x^2-1), f(x,-1) = 0[1]$$
Il mio ragionamento è stato questo: voglio trovare la condizione iniziale all'istante $t = 0$. Infatti per $t \ne 0$ la pde si riduce a
$$\partial_t f(x,t) = t^2\partial_{xx}^2f(x,t)-t\partial_x f(x,t) [2] $$
che so risolvere conoscendo la $f(x,0)$.
Dunque ho provato a fare così: la soluzione nulla, banale, è soluzione dell'equazione $[2]$ per $t<0$. Inoltre si accorda con la condizione iniziale fornita dal problema. Dunque $f(x,t) = 0$ è soluzione della pde nell'intervallo $[-1,0[$.
Adesso, come già fatto dal prof in un esercizio in classe, ho deciso di integrare la $[1]$ tra $t \in [0-\epsilon, 0+\epsilon]$ nel limite $\epsilon \to 0^+$
Adesso l'integrale della delta mi fornisce $\delta(x^2-1)$ siccome integriamo sul bump. Il membro di sinistra invece, mi restituisce, dal teorema fondamentale del calcolo integrale,
$f(x, 0+\epsilon)-f(x, 0-\epsilon) = f(x,+\epsilon), \epsilon \to 0^+=f(x,0^+)$
Adesso arriva il dubbio, ho pensato che l'integrale:
$$\int_{-\epsilon}^{+\epsilon} [t^2\partial_{xx}^2f(x,t)-t\partial_x f(x,t)]dt$$
si annullasse perché integriamo su intervallo del tipo $[a,a]$. Tuttavia poi ho pensato che forse bisogna richiedere che le derivate parziali rispetto alla variabile $x$ della $f(x,t)$ debbano essere continue almeno fino al secondo ordine. Adesso, quest'ipotesi mi sembra molto forte, e inoltre il problema non ci dice nulla a riguardo, perciò sono leggermente spaventato di aver banalizzato eccessivamente quest'ultimo passaggio. Non se serva giustificarlo meglio sinceramente. La soluzione non dice nulla a riguardo, però so che la $f(x,0) = \delta(x^2-1)$ dunque suppongo che l'integrale debba azzerarsi.
In attesa di un aiuto, ringrazio in anticipo chi vorrà rispondere
Devo trovare la soluzione della seguente:
$$ \partial_t f(x,t) = t^2\partial_{xx}^2f(x,t)-t\partial_x f(x,t) + \delta(t)\delta(x^2-1), f(x,-1) = 0[1]$$
Il mio ragionamento è stato questo: voglio trovare la condizione iniziale all'istante $t = 0$. Infatti per $t \ne 0$ la pde si riduce a
$$\partial_t f(x,t) = t^2\partial_{xx}^2f(x,t)-t\partial_x f(x,t) [2] $$
che so risolvere conoscendo la $f(x,0)$.
Dunque ho provato a fare così: la soluzione nulla, banale, è soluzione dell'equazione $[2]$ per $t<0$. Inoltre si accorda con la condizione iniziale fornita dal problema. Dunque $f(x,t) = 0$ è soluzione della pde nell'intervallo $[-1,0[$.
Adesso, come già fatto dal prof in un esercizio in classe, ho deciso di integrare la $[1]$ tra $t \in [0-\epsilon, 0+\epsilon]$ nel limite $\epsilon \to 0^+$
Adesso l'integrale della delta mi fornisce $\delta(x^2-1)$ siccome integriamo sul bump. Il membro di sinistra invece, mi restituisce, dal teorema fondamentale del calcolo integrale,
$f(x, 0+\epsilon)-f(x, 0-\epsilon) = f(x,+\epsilon), \epsilon \to 0^+=f(x,0^+)$
Adesso arriva il dubbio, ho pensato che l'integrale:
$$\int_{-\epsilon}^{+\epsilon} [t^2\partial_{xx}^2f(x,t)-t\partial_x f(x,t)]dt$$
si annullasse perché integriamo su intervallo del tipo $[a,a]$. Tuttavia poi ho pensato che forse bisogna richiedere che le derivate parziali rispetto alla variabile $x$ della $f(x,t)$ debbano essere continue almeno fino al secondo ordine. Adesso, quest'ipotesi mi sembra molto forte, e inoltre il problema non ci dice nulla a riguardo, perciò sono leggermente spaventato di aver banalizzato eccessivamente quest'ultimo passaggio. Non se serva giustificarlo meglio sinceramente. La soluzione non dice nulla a riguardo, però so che la $f(x,0) = \delta(x^2-1)$ dunque suppongo che l'integrale debba azzerarsi.
In attesa di un aiuto, ringrazio in anticipo chi vorrà rispondere
Risposte
Ciao SteezyMenchi,
Ma era uno degli esercizi dell'esame? Più complicato non c'era?
Un paio di cose non mi sono chiare:
Conosci la $f(x, 0) = \delta(x^2 - 1)$ perché è data dal testo dell'esercizio?
Non vedo però applicata da nessuna parte la trasformata di Fourier, come da titolo dell'OP: se fai la trasformata di Fourier rispetto a $x$ dell'equazione completa $[1]$, $\delta(t) $ figura come costante (rispetto a $x$), ma $\delta(x^2 - 1) $ va trasformato e si ha:
$ 1/\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x^2 - 1) e^{- i k x} \text{d}x = 1/\sqrt{2\pi} cos(k) $
Beh, per $t = 0 $ si vede subito che quell'integrale è nullo, per $t \ne 0 $ non so come tu faccia a dirlo, dovresti augurarti che la funzione fra parentesi quadre sia dispari...
Ma era uno degli esercizi dell'esame? Più complicato non c'era?
Un paio di cose non mi sono chiare:
"SteezyMenchi":
che so risolvere conoscendo la $f(x,0)$.
Conosci la $f(x, 0) = \delta(x^2 - 1)$ perché è data dal testo dell'esercizio?
Non vedo però applicata da nessuna parte la trasformata di Fourier, come da titolo dell'OP: se fai la trasformata di Fourier rispetto a $x$ dell'equazione completa $[1]$, $\delta(t) $ figura come costante (rispetto a $x$), ma $\delta(x^2 - 1) $ va trasformato e si ha:
$ 1/\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x^2 - 1) e^{- i k x} \text{d}x = 1/\sqrt{2\pi} cos(k) $
"SteezyMenchi":
Adesso arriva il dubbio, ho pensato che l'integrale:
$\int_{-\epsilon}^{+\epsilon}[t^2 \del_{x x}^2 f(x,t)− t \del_x f(x,t)]dt $
si annullasse perché integriamo su intervallo del tipo $[$- $a,a]$.
Beh, per $t = 0 $ si vede subito che quell'integrale è nullo, per $t \ne 0 $ non so come tu faccia a dirlo, dovresti augurarti che la funzione fra parentesi quadre sia dispari...
No in effetti mi sono accorto ora che non può valere su un intervallo simmetrico di raggio qualsiasi intorno a $t = 0$, ma soltanto nel limite per $\epsilon \to 0$. In realtà no però: un integrale del tipo $\int_{a}^{a} f(x)dx = 0, f(x) \in C^0$ siccome integriamo su intervallo di ampiezza nulla, in parole molto povere. Quindi non serve che la funzione sia dispari. Probabilmente sto dicendo delle fesserie, però al momento non vedo perché valga solo per $t = 0$, che poi è dove ne ho bisogno.
Comunque, non ho postato la mia soluzione perché non ero sicuro di aver ricavato correttamente la condizione iniziale. Molto probabilmente la posterò quando mi si libera un pò di tempo
Comunque, non ho postato la mia soluzione perché non ero sicuro di aver ricavato correttamente la condizione iniziale. Molto probabilmente la posterò quando mi si libera un pò di tempo
Però non capisco una cosa, dalla $[2] $:
$ \partial_t f(x,t) = t^2\partial_{xx}^2f(x,t)-t\partial_x f(x,t) + \delta(t)\delta(x^2-1) $
Se la scrivi per il caso che ti interessa, cioè $t = 0 $, non hai direttamente
$ \partial_t f(x,t)|_{t = 0} = \delta(0)\delta(x^2-1) $
? Poi integri per $t \in [-\epsilon, +\epsilon]$ come hai pensato.
Quest'ultima non l'ho capita, forse hai dimenticato qualche virgola e qualche pezzo: se $\epsilon \to 0^+ $ il 1° membro a sinistra dell'$=$ diventa $0$, il secondo membro a destra diventa $f(x) $, il che ha poco senso...
$ \partial_t f(x,t) = t^2\partial_{xx}^2f(x,t)-t\partial_x f(x,t) + \delta(t)\delta(x^2-1) $
Se la scrivi per il caso che ti interessa, cioè $t = 0 $, non hai direttamente
$ \partial_t f(x,t)|_{t = 0} = \delta(0)\delta(x^2-1) $
? Poi integri per $t \in [-\epsilon, +\epsilon]$ come hai pensato.
"SteezyMenchi":
Il membro di sinistra invece, mi restituisce, dal teorema fondamentale del calcolo integrale,
$f(x, 0+\epsilon)-f(x, 0-\epsilon) = f(x+\epsilon), \epsilon \to 0^+ $
Quest'ultima non l'ho capita, forse hai dimenticato qualche virgola e qualche pezzo: se $\epsilon \to 0^+ $ il 1° membro a sinistra dell'$=$ diventa $0$, il secondo membro a destra diventa $f(x) $, il che ha poco senso...
Ho aggiustato, avevo missato una virgola. Quell’ultima equazione, scritta correttamente ora, deriva dal fatto che so che la soluzione banale nulla mi va bene in $[-1,0[$, dunque $f(x, 0-\epsilon) =0$ e ottieni che la condizione iniziale è la sola delta
Si adesso che mi ci fai pensare bastava mettersi in $t=0$ e le cose si semplificano abbastanza 
PS. Ho notato che vedo tutti i messaggi shiftati temporalmente di un’ora indietro, nonostante il dispositivo dia l’ora giusta. Non lo so se sia un problema mio, però magari interessa a qualcuno dei piani alti del forum
PS. Ho notato che vedo tutti i messaggi shiftati temporalmente di un’ora indietro, nonostante il dispositivo dia l’ora giusta. Non lo so se sia un problema mio, però magari interessa a qualcuno dei piani alti del forum
"SteezyMenchi":
PS. Ho notato che vedo tutti i messaggi shiftati temporalmente di un’ora indietro, nonostante il dispositivo dia l’ora giusta. Non lo so se sia un problema mio, però magari interessa a qualcuno dei piani alti del forum
Il riferimento è all'ora solare, quindi non è un problema tuo, se problema può dirsi, ma proprio del forum. Credo che ai piani alti del forum ne siano ben al corrente, ma comunque non è una cosa così fastidiosa. Sarebbe invece più importante risolvere il problema del numero totale dei messaggi, che ancora non è stato corretto, eppure sono passati anni...
Se andate su: pannello di controllo utente -> preferenze -> preferenze globali, potete impostare l'ora solare o legale sotto la spunta "Ora legale in vigore sì/no".
È possibile scegliere tra ora solare e ora legale, basta andare nel "Pannello di Controllo Utente".
Quello che invece è fastidioso e che segnalai già parecchi anni fa, è che non viene impostata l'ora legale ma viene lasciata l'ora solare quando si entra come semplici visitatori, senza essere loggati
Quello che invece è fastidioso e che segnalai già parecchi anni fa, è che non viene impostata l'ora legale ma viene lasciata l'ora solare quando si entra come semplici visitatori, senza essere loggati
Perfetto, grazie mille ad entrambi non ne ero al corrente. Comunque non era mia intenzione allungare il thread per via di questo fatto, possiate scusarmi.
Comunque per quanto riguarda la tua idea Pillo, non vorrei peccare di superbia, ma non credo sia possibile mettersi in $t=0$ e scrivere $\delta(0)$, siccome non si tratta di una funzione ordinaria. Dunque credo, per quanto la mia modestissima opinione possa contare, che la soluzione migliore sia integrare in $I = [-\epsilon, +\epsilon]$ fin dall'inizio e usare il fatto che a sinistra mi rimane $f(x, 0^+)$ e a destra l'integrale svanisce per quanto discusso in precedenza. E ora hai che il termine con $\delta(t)$ effettivamente ti restituisce $1$. Questo almeno è per come la penso io, poi ovviamente fammi sapere se sei d'accordo
Comunque per quanto riguarda la tua idea Pillo, non vorrei peccare di superbia, ma non credo sia possibile mettersi in $t=0$ e scrivere $\delta(0)$, siccome non si tratta di una funzione ordinaria. Dunque credo, per quanto la mia modestissima opinione possa contare, che la soluzione migliore sia integrare in $I = [-\epsilon, +\epsilon]$ fin dall'inizio e usare il fatto che a sinistra mi rimane $f(x, 0^+)$ e a destra l'integrale svanisce per quanto discusso in precedenza. E ora hai che il termine con $\delta(t)$ effettivamente ti restituisce $1$. Questo almeno è per come la penso io, poi ovviamente fammi sapere se sei d'accordo
Sì sono d'accordo, formalmente è meglio fare uso della proprietà della delta di Dirac valida per $\epsilon > 0 $ seguente:
$\int_{t_0 - \epsilon}^{t_0 + \epsilon} f(t)\delta(t - t_0) \text{d}t = f(t_0) $
ove nel caso in esame $f(t) -= 1 $ $\AA t $ e $t_0 = 0 $
Anche se poi $\delta(0) $ assume il significato corretto nel momento in cui si integra.
$\int_{t_0 - \epsilon}^{t_0 + \epsilon} f(t)\delta(t - t_0) \text{d}t = f(t_0) $
ove nel caso in esame $f(t) -= 1 $ $\AA t $ e $t_0 = 0 $
Anche se poi $\delta(0) $ assume il significato corretto nel momento in cui si integra.
Perfetto, come al solito, grazie mille Pillo per le risposte, sei sempre di grandezza aiuto
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