Passeggiata aleatoria su \( \mathbb{Z}^d\)

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Non capisco un passaggio nella seguente dimostrazione

Consideriamo una passeggiata aleatoria semplice \((X_n)_{n\geq 0 } \) su \( \mathbb{Z}^d\), e \( \pi_d = \mathbb{P}\{ \exists N \geq 1, X_N=0 \} \). Allora \( \pi_d = 1 \) se e solo se \( d \leq 2 \).


Nel caso \(d=1\)
Sia \(Q_k(x,y) = \mathbb{P}\{x \rightarrow y \text{ in esattamente } k \text{ steps}\}\). Chiaramente
\[ Q_{k+1}(x,y) = \sum_{z \in \mathbb{Z}^d} Q_k(x,z)Q_1(z,y)\]
per invarianza di transizione abbiamo che \( Q_k(x,y)=Q_k(0,y-x) \) dunque sia \(P_k(x)=Q_k(0,x)\) e abbiamo che
\[ P_{k+1}(x)=\sum_{z\in \mathbb{Z}^d}P_k(z)P_1(x-z) \]
dunque \( P_1 \ast \ldots \ast P_1 = P^{\ast k }\) e sia dunque dunque \(P:=P_1 \) abbiamo che \(N_d := \#\{ n\geq 0 : X_n = 0 \} \) dunque
\[ N_d = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{1}_{\{X_n=0\}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(0) = \sum_{n=0}^{\infty} P^{\ast n}(0) \]

A) Non capisco la seconda uguaglianza secondo me dovrebbe essere
\[ \mathbb{E}[N_d] = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{X_n=0\}}] = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(0) = \sum_{n=0}^{\infty} P^{\ast n}(0) \]

Per calcolare l'ultima somma passiamo alla trasformata di Fourier e abbiamo che
\[ P^{\ast n}(0) = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} \left( \mathcal{F} P \right)^n (\xi) d \xi = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos^n (\xi) d \xi \]

B) Non capisco perché è uguale al coseno

da cui
\[ \mathbb{E}[N_d] = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2\pi} \int_{\pi}^{\pi} \cos^n (\xi) d \xi = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1- \cos \xi } d \xi = \infty \]

[pilloeffe]

Ciao 3m0o,

Per quanto concerne il punto B) non so quale definizione di trasformata di Fourier usi, ma si ha:

$\int_{-\infty}^{+\infty}[(\delta(t - 1) + \delta(t + 1))/2] e^{- i\xi t}\text{d}t = (e^{i\xi} + e^{- i \xi})/2 = cos(\xi) $

[dissonance]

Hai ragione su A), sembra proprio un typo. Non ha senso che la somma di variabili aleatorie sia uguale a un numero.