Passaggio strano
C'è un passaggio in una dimostrazione che sto studiando che non capisco.
La situazione è questa: sia $u$ funzione assolutamente continua in $[0,2\pi]$ tale che $u(0)=u(2\pi),\int_0^(2\pi)u(t)dt=0$ e $u'\in L^2(0,2\pi)$, inoltre per ogni $v$ con le stesse ipotesi, in più $v(0)=0$ si ha $\int_0^(2\pi)uvdt=\int_0^(2\pi)u'v'dt$.
Allora, dato che $u$ ha valore medio nullo, allora la condizione vale se prendiamo $v\in C_0^\infty(0,2\pi)$.
Ora io non capisco come vada utilizzato che $u$ ha valore medio nullo e quindi non so come fare, un aiutino? Grazie.
La situazione è questa: sia $u$ funzione assolutamente continua in $[0,2\pi]$ tale che $u(0)=u(2\pi),\int_0^(2\pi)u(t)dt=0$ e $u'\in L^2(0,2\pi)$, inoltre per ogni $v$ con le stesse ipotesi, in più $v(0)=0$ si ha $\int_0^(2\pi)uvdt=\int_0^(2\pi)u'v'dt$.
Allora, dato che $u$ ha valore medio nullo, allora la condizione vale se prendiamo $v\in C_0^\infty(0,2\pi)$.
Ora io non capisco come vada utilizzato che $u$ ha valore medio nullo e quindi non so come fare, un aiutino? Grazie.
Risposte
Io non ho capito il testo. Tu sai che \( u \in AC ([0, 2\pi]) \) è tale che \( u(0)=u(2\pi) \), è a media nulla e ha derivata in \( L^2 ( (0,2\pi)) \). Inoltre sai che per ogni \( v \) come \( u \) ma che in più si annulla in \(0 \) vale \( \int_0^{2\pi} uv = \int_0^{2\pi} u'v' \).
La dimostrazione asserisce che se \( v \in C_0^{\infty} ((0, 2\pi)) \) (generica, non come prima?) ... allora?
P.S. : stai facendo calcolo delle variazioni per caso?
La dimostrazione asserisce che se \( v \in C_0^{\infty} ((0, 2\pi)) \) (generica, non come prima?) ... allora?
P.S. : stai facendo calcolo delle variazioni per caso?
Allora vale la stessa uguaglianza tra gli integrali.
In effetti questa dimostrazione si trova in un libro di calcolo delle variazioni, ma ancora non lo sto studiando, mi serve per la tesi.
In effetti questa dimostrazione si trova in un libro di calcolo delle variazioni, ma ancora non lo sto studiando, mi serve per la tesi.
@otta96: Che libro?
Sia \( v \in C_0^{\infty}((0, 2\pi)) \) generica. Sia \( \overline{v} := \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} v(t)dt \). Sia \( V(t) = v(t) - \overline{v} \).
Allora $V$ soddisfa tutte le ipotesi delle $v$ di prima.
Allora vale
\[ \int_0^{2\pi} uv= \int_0^{2\pi}uV = \int_0^{2\pi}u’V’ = \int_0^{2\pi} u’v’ \]
Dove nel primo passaggio sfrutto che $u$ ha media nulla e nel terzo che le derivate di $v$ e $V$ sono le stessa.
Dovrebbe funzionare!
Faceva tanto disuguaglianza di Wirtinger sta roba, per quello pensavo a CdV!
EDIT: no, non funziona perché $V(0) \ne 0 $ però magari si aggiusta!
Allora $V$ soddisfa tutte le ipotesi delle $v$ di prima.
Allora vale
\[ \int_0^{2\pi} uv= \int_0^{2\pi}uV = \int_0^{2\pi}u’V’ = \int_0^{2\pi} u’v’ \]
Dove nel primo passaggio sfrutto che $u$ ha media nulla e nel terzo che le derivate di $v$ e $V$ sono le stessa.
Dovrebbe funzionare!
Faceva tanto disuguaglianza di Wirtinger sta roba, per quello pensavo a CdV!
EDIT: no, non funziona perché $V(0) \ne 0 $ però magari si aggiusta!
Il libro è un'introduzione al calcolo delle variazioni :teoria ed esercizi di Talenti, Colesanti e Salani.
"Bremen000":
!Faceva tanto disuguaglianza di Wirtinger sta roba, per quello pensavo a CdV!
Sostanzialmente è l'ultimo passaggio della dimostrazione della disuguaglianza di Wirtinger
Ah vedi! Comunque non saprei, aspettiamo qualcuno di più dotto!
@otta: Se poi, per altre vie, scoprissi come si risolveva il tuo dubbio e avessi voglia di scriverlo qua, te ne sarei grato: sono abbastanza curioso!
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