Particolare formula per alcuni integrali coi residui?
Salve a tutti, dagli appunti del mio professore esce fuori che integrali del tipo $ int_(0)^(2pi) R(senx) dx $ e $ int_(0)^(2pi) R(cosx) dx $ con $ R $ funzione razionale si possono direttamente risolvere mediante la seguente formula $ -2pi sum_(k ) Res[wk]*(sgn(wk))/(sqrt(wk^2-1) $ , a patto che i poli siano reali semplici e in modulo maggiore di 1.
Mi chiede di dimostrare da dove esce la seguente formula $ R[w]=sum_(k ) (Res[wk])/(w-wk) $ considerando questo esercizio :
$ int_(0)^(2pi) dx/(12(senx)^2-35senx+25) $ dove $ w=senx $
Ho provato a fare la sostituzione di $ senx=(z-1/(z))/(2j) $ ma viene una roba aberrante di z elevata alla quarta. Mi consigliate un modo pratico per ricavare tale formule? Grazie mille.
Mi chiede di dimostrare da dove esce la seguente formula $ R[w]=sum_(k ) (Res[wk])/(w-wk) $ considerando questo esercizio :
$ int_(0)^(2pi) dx/(12(senx)^2-35senx+25) $ dove $ w=senx $
Ho provato a fare la sostituzione di $ senx=(z-1/(z))/(2j) $ ma viene una roba aberrante di z elevata alla quarta. Mi consigliate un modo pratico per ricavare tale formule? Grazie mille.
Risposte
Non si capisce nulla.
Cosa devi fare?
Dimostrare la formula? Calcolare l'integrale? Calcolare l'integrale per sostituzione e con la formula e controllare se i risultati combaciano?
Poi, non vedo cosa ci sia di abberrante in quella funzione razionale che viene fuori...
Cosa devi fare?
Dimostrare la formula? Calcolare l'integrale? Calcolare l'integrale per sostituzione e con la formula e controllare se i risultati combaciano?
Poi, non vedo cosa ci sia di abberrante in quella funzione razionale che viene fuori...
Si dovrei dimostrare che per quell'integrale che ho scritto vale questa formula $ R[w]=sum_(k ) (Res[wk])/(w-wk) $. Il fatto che è ci ho provato sostituendo al senx il suo corrispondente, ma viene fuori della roba alla quarta e non so più come procedere.
Ciao Omi,
Concordo...
Ora, intuendo che in realtà non volessi scrivere $wk $, ma $w_k $, lasciamo stare per il momento la formula e concentriamoci sull'integrale proposto:
$\int_0^{2\pi} (\text{d}x)/(12(sinx)^2-35sinx+25) $
Conviene osservare che se si pone $z = e^{jx} = cosx + j sinx $, si ha $ cosx = (z+1/z)/2 $ e $ sinx = (z−1/z)/(2j)$; l’integrale nella variabile $x$ che va da $0$ a $2\pi $ diviene un integrale nella variabile $z$ che percorre la circonferenza $|z|= 1$. Inoltre $z = e^{jx} \implies \text{d}z = j e^{jx} \text{d}x = jz \text{d}x \implies \text{d}x = (\text{d}z)/(jz)$ e $ sin^2 x = ((z−1/z)/(2j))^2 = −1/4(z^2 − 2 + 1/z^2)$. Dunque si ha:
$\int_0^{2\pi} (\text{d}x)/(12(sinx)^2-35sinx+25) = \oint_{|z| = 1} \frac{1}{- 3(z^2 − 2 + 1/z^2) - 35 \cdot (z−1/z)/(2j) + 25} \cdot (\text{d}z)/(jz) = $
$ = \oint_{|z| = 1} \frac{\text{d}z}{- 3jz(z^2 − 2 + 1/z^2) - 35 \cdot (z^2−1)/2 + 25jz} = \oint_{|z| = 1} \frac{\text{d}z}{- 3jz^3 + 6jz - (3j)/z - 35/2 z^2 + 35/2 + 25jz} = $
$ = 2 \oint_{|z| = 1} \frac{z \text{d}z}{- 6jz^4 + 12jz^2 - 6j - 35 z^3 + 35z + 50jz^2} = 2 \oint_{|z| = 1} \frac{z \text{d}z}{- 6jz^4 - 35z^3 + 62jz^2 + 35z - 6j} = $
$ = 2/(-j) \oint_{|z| = 1} \frac{z \text{d}z}{6z^4 - 35j z^3 - 62z^2 + 35jz + 6} = 2/(-j) \oint_{|z| = 1} \frac{z \text{d}z}{(z - 2j)(z - 3j)(2z - j)(3z - j)} = $
$ = - 4\pi \{\text{Res}[\frac{z}{(z - 2j)(z - 3j)(2z - j)(3z - j)}; j/2] + \text{Res}[\frac{z}{(z - 2j)(z - 3j)(2z - j)(3z - j)}; j/3]\} = $
$ = - 4\pi \{- 2/15 + 3/40 \} = - 4\pi \{(- 16 + 9)/120 \} = - 4\pi \{(- 7)/120 \} = (7\pi)/30 $
"gugo82":
Non si capisce nulla.
Concordo...
Ora, intuendo che in realtà non volessi scrivere $wk $, ma $w_k $, lasciamo stare per il momento la formula e concentriamoci sull'integrale proposto:
$\int_0^{2\pi} (\text{d}x)/(12(sinx)^2-35sinx+25) $
Conviene osservare che se si pone $z = e^{jx} = cosx + j sinx $, si ha $ cosx = (z+1/z)/2 $ e $ sinx = (z−1/z)/(2j)$; l’integrale nella variabile $x$ che va da $0$ a $2\pi $ diviene un integrale nella variabile $z$ che percorre la circonferenza $|z|= 1$. Inoltre $z = e^{jx} \implies \text{d}z = j e^{jx} \text{d}x = jz \text{d}x \implies \text{d}x = (\text{d}z)/(jz)$ e $ sin^2 x = ((z−1/z)/(2j))^2 = −1/4(z^2 − 2 + 1/z^2)$. Dunque si ha:
$\int_0^{2\pi} (\text{d}x)/(12(sinx)^2-35sinx+25) = \oint_{|z| = 1} \frac{1}{- 3(z^2 − 2 + 1/z^2) - 35 \cdot (z−1/z)/(2j) + 25} \cdot (\text{d}z)/(jz) = $
$ = \oint_{|z| = 1} \frac{\text{d}z}{- 3jz(z^2 − 2 + 1/z^2) - 35 \cdot (z^2−1)/2 + 25jz} = \oint_{|z| = 1} \frac{\text{d}z}{- 3jz^3 + 6jz - (3j)/z - 35/2 z^2 + 35/2 + 25jz} = $
$ = 2 \oint_{|z| = 1} \frac{z \text{d}z}{- 6jz^4 + 12jz^2 - 6j - 35 z^3 + 35z + 50jz^2} = 2 \oint_{|z| = 1} \frac{z \text{d}z}{- 6jz^4 - 35z^3 + 62jz^2 + 35z - 6j} = $
$ = 2/(-j) \oint_{|z| = 1} \frac{z \text{d}z}{6z^4 - 35j z^3 - 62z^2 + 35jz + 6} = 2/(-j) \oint_{|z| = 1} \frac{z \text{d}z}{(z - 2j)(z - 3j)(2z - j)(3z - j)} = $
$ = - 4\pi \{\text{Res}[\frac{z}{(z - 2j)(z - 3j)(2z - j)(3z - j)}; j/2] + \text{Res}[\frac{z}{(z - 2j)(z - 3j)(2z - j)(3z - j)}; j/3]\} = $
$ = - 4\pi \{- 2/15 + 3/40 \} = - 4\pi \{(- 16 + 9)/120 \} = - 4\pi \{(- 7)/120 \} = (7\pi)/30 $
Grazie pillo, scusate se sono stato poco chiaro, ma non sapevo come arrivare alla soluzione. Quindi diciamo che la formula bene o male si ricava da questo procedimento giusto?
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