Palle nello spazio normato delle applicazioni lineari limitate

[marco2132k]

Siano \( E \) ed \( F \) due spazi normati (facciamo reali). Sia \( \hom(E,F) \) lo spazio normato di tutte le applicazioni lineari limitate \( T\colon E\to F \), equipaggiato con la norma operatoriale definita come
\[
\lVert T\rVert = \sup_{\substack{\xi\in E\\0 < \lVert \xi\rVert \leqq 1}}\frac{\lVert T(\xi)\rVert}{\lVert \xi\rVert}
\] per ogni \( T\in \hom(E,F) \). Un'idea intuitiva di cosa "misuri" \( \lVert T\rVert \) ce l'ho: mi dice quanto al più \( T \) allunga il vettore \( \xi \).

Non riesco a farmi un'idea un po' più ben formata delle palle di questo spazio (e, quindi, mi pare di non "capire" abbastanza bene che cosa significa essere continua per una funzione a dominio o codominio uno spazio \( \hom(E,F) \)).

Dati \( T\in \hom(E,F) \) e \( \epsilon > 0 \), la palla \( B(T,\epsilon) \) è l'insieme di tutte le \( S\in \hom(E,F) \) tali che
\[
\frac{\lVert T(\xi) - S(\xi)\rVert}{\lVert \xi\rVert} < \epsilon
\] per ogni \( \xi \in E \), ma "come è fatta" geometricamente una cosa del genere?

[otta96]

Sostanzialmente è la topologia della convergenza uniforme sulla palla unitaria.

[marco2132k]

Che cosa intendi con "sulla palla unitaria"?

[otta96]

Intendo che una successione $f_n$ converge a una funzione $f$ se la successione delle restrizioni di $f_n$ alla palla unitaria converge uniformemente alla restrizione di $f$ sempre alla palla unitaria.