P-forme esterne
Salve volevo chiedervi due dubbi
La prima è che cosa sia realmente una 0-forma, io la vedo come qualcosa che non prende niente e da un numero reale ed è per questo che forse lui dice che sono semplicemente scalari, ma poi afferma che su una varietá sono funzioni differenziabili che mi sembra una cosa molto diversa .
Secondo, quando parla della notazione a multiindici scrive gli indici in ordine crescente
$i_1<…
La prima è che cosa sia realmente una 0-forma, io la vedo come qualcosa che non prende niente e da un numero reale ed è per questo che forse lui dice che sono semplicemente scalari, ma poi afferma che su una varietá sono funzioni differenziabili che mi sembra una cosa molto diversa .
Secondo, quando parla della notazione a multiindici scrive gli indici in ordine crescente
$i_1<…
Risposte
Una 0-forma differenziale su una varietà è semplicemente una funzione $C^\infty$ sulla varietà stessa.
E' sufficiente considerare multiindici totalmente ordinati e crescenti perché due tuple \(e_{i_1}\land \dots\land e_{i_k}\) e \(e_{i_{\sigma 1}}\land\dots\land e_{i_{\sigma k}}\) che differiscono per un riordinamento di indici sono linearmente dipendenti
E' sufficiente considerare multiindici totalmente ordinati e crescenti perché due tuple \(e_{i_1}\land \dots\land e_{i_k}\) e \(e_{i_{\sigma 1}}\land\dots\land e_{i_{\sigma k}}\) che differiscono per un riordinamento di indici sono linearmente dipendenti
Grazie per la risposta.
Per quanto riguarda la notazione di indici ho proprio un dubbio su che cosa siano prendiamo : $
v_{i_{1}},..., v_{i_{p}} $ con v vettore cosa mi indicano questi coefficienti ? Quando scrive $ v_{i_{n}} $ intendo la componente i-esima nel n-esimo vettore ? Però così non avrebbe senso scrivere $i_1 <...
Per quanto riguarda la notazione di indici ho proprio un dubbio su che cosa siano prendiamo : $
v_{i_{1}},..., v_{i_{p}} $ con v vettore cosa mi indicano questi coefficienti ? Quando scrive $ v_{i_{n}} $ intendo la componente i-esima nel n-esimo vettore ? Però così non avrebbe senso scrivere $i_1 <...
Non sono coefficienti, sono vettori; sono esattamente i vettori che, al variare delle tuple \(I=\{i_1
Se ne vuoi una rappresentazione "geometrica", \(e_{i_1}\land\dots\land e_{i_r}\) è l'applicazione $r$-lineare che prende $r$ vettori (confusi con una matrice rettangolare $d\times r$), e restituisce il determinante della matrice quadrata $r\times r$ ottenuta prendendo solo le righe $i_1,...,i_r$ degli $r$ vettori.
Se ne vuoi una rappresentazione "geometrica", \(e_{i_1}\land\dots\land e_{i_r}\) è l'applicazione $r$-lineare che prende $r$ vettori (confusi con una matrice rettangolare $d\times r$), e restituisce il determinante della matrice quadrata $r\times r$ ottenuta prendendo solo le righe $i_1,...,i_r$ degli $r$ vettori.
Due parole informali riguardo al primo punto e le varietà.
E infatti hai ragione.
Dato uno spazio $F$-vettoriale $V$ le 0-forme sono scalari, i.e. $\wedge^0 V = F$.
Ora, data una varietà $M$, ad ogni punto $p$ è associato uno $\mathbb{R}$-spazio vettoriale tangente $T_pM$.
Una $k$-forma differenziale è un oggetto che "attacca" ad ogni punto $p \in M$ un elemento di $\wedge^k T_pM^\vee$ ([nota]$V^\vee$ denota lo spazio duale. Per quanto riguarda questa discussione puoi fare a finta che non ci sia[/nota]), ovvero una mappa $M \to \wedge TM^\vee$([nota]$TM$ è detto fibrato tangente ed è in pratica l'unione (disgiunta) di tutti gli spazi tangenti[/nota]), l'insieme delle $k$-forme differenziali si può denotare con $\Gamma(\wedge^k TM^\vee)$.
Quindi, una $0$-forma differenziale associa ad ogni punto $p$ un elemento di $\wedge^0 T_pM^\vee = \mathbb{R}$, ovvero uno scalare, quindi le $0$-forme differenziali sono funzioni $C^\infty(M)$, in simboli $\Gamma(\wedge^0 TM^\vee) = C^\infty(M)$.
Riassumendo, le $k$-forme sono definite su uno spazio vettoriale e le $k$-forme differenziali su una varietà. Le $0$-forme su uno spazio vettoriale sono scalari, ma le $0$-forme differenziali sono funzioni (ad ogni punto associano uno scalare).
E questo spiega (spero) la frase del testo.
_______________
Si può dare un'altra spiegazione nel seguente modo.
L'algebra esterna si può considerare anche per un $R$-modulo $N$ (in pratica uno spazio vettoriale su un anello $R$), e come prima $\wedge^0 N = R$, ovvero le $0$-forme sono "scalari", ovvero elementi dell'anello.
Ora, le funzioni lisce $C^\infty(M)$ sono un anello e le sezioni del fibrato tangente $\Gamma(TM^\vee)$ (in pratica le funzioni $M \mapsto TM^\vee$) sono un $C^\infty(M)$-modulo, quindi $\wedge^0 \Gamma(TM^\vee) = C^\infty(M)$, perché ora il nostro anello di scalari è un anello di funzioni!
Analogamente si possono definire le $k$-forme come $\wedge^k \Gamma(TM^\vee)$ e si mostra che queste due definizioni di $k$-forme differenziali sono equivalenti.
Più precisamente $\Gamma(\wedge^k TM^\vee) = \wedge^k \Gamma(TM^\vee)$ come $C^\infty(M)$-moduli. Questo può essere visto come una conseguenza di un profondo risultato che crea una corrispondenza tra fibrati vettoriali e moduli proiettivi.
"MementoMori":
...sono semplicemente scalari, ma poi afferma che su una varietà sono funzioni differenziabili che mi sembra una cosa molto diversa.
E infatti hai ragione.
Dato uno spazio $F$-vettoriale $V$ le 0-forme sono scalari, i.e. $\wedge^0 V = F$.
Ora, data una varietà $M$, ad ogni punto $p$ è associato uno $\mathbb{R}$-spazio vettoriale tangente $T_pM$.
Una $k$-forma differenziale è un oggetto che "attacca" ad ogni punto $p \in M$ un elemento di $\wedge^k T_pM^\vee$ ([nota]$V^\vee$ denota lo spazio duale. Per quanto riguarda questa discussione puoi fare a finta che non ci sia[/nota]), ovvero una mappa $M \to \wedge TM^\vee$([nota]$TM$ è detto fibrato tangente ed è in pratica l'unione (disgiunta) di tutti gli spazi tangenti[/nota]), l'insieme delle $k$-forme differenziali si può denotare con $\Gamma(\wedge^k TM^\vee)$.
Quindi, una $0$-forma differenziale associa ad ogni punto $p$ un elemento di $\wedge^0 T_pM^\vee = \mathbb{R}$, ovvero uno scalare, quindi le $0$-forme differenziali sono funzioni $C^\infty(M)$, in simboli $\Gamma(\wedge^0 TM^\vee) = C^\infty(M)$.
Riassumendo, le $k$-forme sono definite su uno spazio vettoriale e le $k$-forme differenziali su una varietà. Le $0$-forme su uno spazio vettoriale sono scalari, ma le $0$-forme differenziali sono funzioni (ad ogni punto associano uno scalare).
E questo spiega (spero) la frase del testo.
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Si può dare un'altra spiegazione nel seguente modo.
L'algebra esterna si può considerare anche per un $R$-modulo $N$ (in pratica uno spazio vettoriale su un anello $R$), e come prima $\wedge^0 N = R$, ovvero le $0$-forme sono "scalari", ovvero elementi dell'anello.
Ora, le funzioni lisce $C^\infty(M)$ sono un anello e le sezioni del fibrato tangente $\Gamma(TM^\vee)$ (in pratica le funzioni $M \mapsto TM^\vee$) sono un $C^\infty(M)$-modulo, quindi $\wedge^0 \Gamma(TM^\vee) = C^\infty(M)$, perché ora il nostro anello di scalari è un anello di funzioni!
Analogamente si possono definire le $k$-forme come $\wedge^k \Gamma(TM^\vee)$ e si mostra che queste due definizioni di $k$-forme differenziali sono equivalenti.
Più precisamente $\Gamma(\wedge^k TM^\vee) = \wedge^k \Gamma(TM^\vee)$ come $C^\infty(M)$-moduli. Questo può essere visto come una conseguenza di un profondo risultato che crea una corrispondenza tra fibrati vettoriali e moduli proiettivi.
Ok grazie sto capendo e quindi guardando proprio gli indici $ i $ varia tra tutti i possibili vettori e l’indice più in basso mi indica la posizione in cui questo si trova nella p-forma?
Grazie anche a te Emar, io studio fisica quindi per me è molto criptico ma grazie lo stesso. Sto approfondendo personalmente alcuni argomenti più matematici per interesse anche se non avrò mai la visione d’insime che avete voi
Grazie anche a te Emar, io studio fisica quindi per me è molto criptico ma grazie lo stesso. Sto approfondendo personalmente alcuni argomenti più matematici per interesse anche se non avrò mai la visione d’insime che avete voi
"MementoMori":
Grazie anche a te Emar, io studio fisica quindi per me è molto criptico ma grazie lo stesso. Sto approfondendo personalmente alcuni argomenti più matematici per interesse anche se non avrò mai la visione d’insieme che avete voi
Ho editato drasticamente il post aggiungendo più dettagli. Spero che, almeno la prima parte, sia comprensibile e ti possa chiarire il dubbio.
Grazie adesso la prima parte è molto più chiara. Riguardo il secondo punto saresti in grado di chiarirmi le idee? Non riesco proprio a capire cosa mi rappresenti quella $i$ . È la prima volta che da fisico incontro questa notazione e cercando su internet come https://en.m.wikipedia.org/wiki/Multi-index_notation mi sembra che sia una roba completamente diversa ma con lo stesso nome.
Non so se ho capito il tuo dubbio.
Considera $\wedge^2 V$, allora, dati due vettori $u,v \in V$ abbiamo $u \wedge v = - v \wedge u$, quindi $\text{span}(u \wedge v) = \text{span}(v \wedge u)$.
Se ora $V = \text{span}(v_i)_{i}^n$, ricordando che $v_i \wedge v_i = 0$, abbiamo $\text{span}(v_i \wedge v_j)_{i,j}^n = \text{span}(v_i \wedge v_j)_{i \ne j}^n$. Ora, dato che $v_i \wedge v_j = - v_j \wedge v_i$ hai \[\text{span}(v_i \wedge v_j)_{i,j}^n = \text{span}(v_i \wedge v_j)_{i \ne j}^n = \text{span}(v_i \wedge v_j)_{i < j}^n = \text{span}(v_i \wedge v_j)_{i > j}^n\]
In pratica ti bastano solo metà elementi per lo span.
Qui $v_i$ sono vettori diversi, non componenti di vettori.
Ora, se $k > 2$, possiamo usare indici $k,l,m, ...$, ma è più comodo chiamarli $i_n$. Nel nostro caso con $k=2$, avevamo $i_1 = i, i_2 = j$.
Poi sì, puoi considerare multi-indici, ma quello non cambia il succo.
Considera $\wedge^2 V$, allora, dati due vettori $u,v \in V$ abbiamo $u \wedge v = - v \wedge u$, quindi $\text{span}(u \wedge v) = \text{span}(v \wedge u)$.
Se ora $V = \text{span}(v_i)_{i}^n$, ricordando che $v_i \wedge v_i = 0$, abbiamo $\text{span}(v_i \wedge v_j)_{i,j}^n = \text{span}(v_i \wedge v_j)_{i \ne j}^n$. Ora, dato che $v_i \wedge v_j = - v_j \wedge v_i$ hai \[\text{span}(v_i \wedge v_j)_{i,j}^n = \text{span}(v_i \wedge v_j)_{i \ne j}^n = \text{span}(v_i \wedge v_j)_{i < j}^n = \text{span}(v_i \wedge v_j)_{i > j}^n\]
In pratica ti bastano solo metà elementi per lo span.
Qui $v_i$ sono vettori diversi, non componenti di vettori.
Ora, se $k > 2$, possiamo usare indici $k,l,m, ...$, ma è più comodo chiamarli $i_n$. Nel nostro caso con $k=2$, avevamo $i_1 = i, i_2 = j$.
Poi sì, puoi considerare multi-indici, ma quello non cambia il succo.
Ho capito grazie era proprio un problema di notazione e non di concetto grazie !!!!
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