Ortogonalità tra due funzioni

[Lelouko]

Pochi giorni fa ho dato l'esame di Analisi II e mi sono imbattuta in questo esercizio, che non avevo mai visto e subito infatti mi sono bloccata :
Si verichi che $sin(mx)$, $cos(nx)$ e le funzioni costanti sono ortogonali tra di loro in $L^2(-\pi,\pi)$, per ogni n,m $in$ $NN$.

L'unica cosa che mi viene da pensare è che potrei fare un prodotto scalare tra le due funzioni visto che mi chiede l'ortogonalità, ma non credo che sia questa la soluzione...

[Sk_Anonymous]

"Lelouko":[...]
L'unica cosa che mi viene da pensare è che potrei fare un prodotto scalare tra le due funzioni visto che mi chiede l'ortogonalità, ma non credo che sia questa la soluzione...

Invece lo e'. Devi usare il prodotto scalare di \( L^2 \).

[killing_buddha]

Invece sì, devi proprio fare gli integrali
\[
\int_{-\pi}^\pi \sin mx \cos nx\qquad \int_{-\pi}^\pi \alpha \cos nx \qquad \int_{-\pi}^\pi \beta \sin mx
\] gli ultimi due sono zero perché stai integrando su un periodo. Il primo è pure zero, è un conto facile.

[Lelouko]

"killing_buddha":Invece sì, devi proprio fare gli integrali
\[
\int_{-\pi}^\pi \sin mx \cos nx\qquad \int_{-\pi}^\pi \alpha \cos nx \qquad \int_{-\pi}^\pi \beta \sin mx
\] gli ultimi due sono zero perché stai integrando su un periodo. Il primo è pure zero, è un conto facile.

mm ok, quindi dovrei fare l'integrale del prodotto scalare tra le due funzioni, e allora perchè hai fatto anche gli ultimi due integrali?

[killing_buddha]

"Lelouko":e allora perchè hai fatto anche gli ultimi due integrali?

Che ti hanno fatto di male le funzioni costanti?

[Lelouko]

mm come fai a dire che gli ultimi due sono integrali di funzioni costanti? Il seno e il coseno non sono funzioni periodiche? Oppure sbaglio?

[killing_buddha]

sin e cos sono ortogonali alle costanti; ovviamente le costanti non sono ortogonali tra loro.

[Lelouko]

uh ho capito, grazie mille!