Operatori in spazi di Banach
Salve sto svolgendo il seguente esercizio e vi chiedo se è svolto bene.
1) Secondo me $X$ non è di Banach. Per esempio la successione di polinomi
\[
p_{n}=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}x^{i}
\]
è di Cauchy ma non converge ad alcun polinomio. Che sia di Cauchy dovrebbe dipendere dal fatto che $||p_{n}||=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}$ e che la successione $\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}$ è di Cauchy con la solita distanza euclidea.
2)Per il secondo punto avevo considerato i polinomi $p_{k}=\lambda^{k}$. Per questi $||p_{k}||=1$ e $||Dp_{k}||=k$: quindi per ogni $k\in \mathbb{N}$ risulta
\[
||D||_{op}\ge \frac{||Dp^{k}||}{||p^{k}||}=k
\]
da cui $||D||_{op}=+\infty$.
Grazie
Si munisca lo spazio vettoriale dei polinomi $X=\mathbb{R}[\lambda]$ della norma
\[
||p||=\max_{0\le \lambda \le 1}|p(\lambda)| \mbox{ dove } p=a_{0}+a_{1}\lambda+\cdots +a_{n}\lambda^{n}
\]
1) Stabilire se $X$ è uno spazio di Banach;
2) Calcolare $||D||_{op}$, dove $D$ è l'operatore di derivazione.
1) Secondo me $X$ non è di Banach. Per esempio la successione di polinomi
\[
p_{n}=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}x^{i}
\]
è di Cauchy ma non converge ad alcun polinomio. Che sia di Cauchy dovrebbe dipendere dal fatto che $||p_{n}||=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}$ e che la successione $\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}$ è di Cauchy con la solita distanza euclidea.
2)Per il secondo punto avevo considerato i polinomi $p_{k}=\lambda^{k}$. Per questi $||p_{k}||=1$ e $||Dp_{k}||=k$: quindi per ogni $k\in \mathbb{N}$ risulta
\[
||D||_{op}\ge \frac{||Dp^{k}||}{||p^{k}||}=k
\]
da cui $||D||_{op}=+\infty$.
Grazie
Risposte
Non hai spiegato perché la successione non converge ad un polinomio. Il resto va bene.
Grazie per la risposta.
Sono andato troppo di pancia e non riesco ora a trovarne una motivazione precisa (per ora ho dimostrato, senza neanche averne troppo la certezza, che se $p$ è il polinomio limite si ha $||p||=e$ e $||p-p_{m}||=e-||p_{m}||$, dove $m$ è il grado di $p$). Qualche hint?
Sono andato troppo di pancia e non riesco ora a trovarne una motivazione precisa (per ora ho dimostrato, senza neanche averne troppo la certezza, che se $p$ è il polinomio limite si ha $||p||=e$ e $||p-p_{m}||=e-||p_{m}||$, dove $m$ è il grado di $p$). Qualche hint?
"Cantor99":
Grazie per la risposta.
Sono andato troppo di pancia e non riesco ora a trovarne una motivazione precisa (per ora ho dimostrato, senza neanche averne troppo la certezza, che se $p$ è il polinomio limite si ha $||p||=e$ e $||p-p_{m}||=e-||p_{m}||$, dove $m$ è il grado di $p$). Qualche hint?
Beh ci sei quasi. La successione \( p_n (x) \) che hai definito è di Cauchy e converge uniformemente ad \( e^x \) (che non è un polinomio) su \( [0,1]\). Nota che i polinomi sono densi in \( C^0 ([0,1]) \) per Stone-Weierstrass, quindi in generale successioni di Cauchy di polinomi "escono" dallo spazio dei polinomi.
Grazie per la risposta, tra l'altro non avevo fatto caso che lo spazio dei polinomi con quella norma è sottospazio di $C^{0}[0,1]$ con la supnorma.
Quindi per concludere velocemente basta dimostrare che $p_{n}\to e^{x}$ in $C^{0}[0,1]$?
Dovrebbe seguire dal fatto che il resto della serie esponenziale è infinitesimo
\[
||e^{x}-p_{n}||\le \sum_{i=n+1}^{+\infty}\frac{1}{i!}\to 0
\]
Senza usare Stone-Weierstrass, mi è venuta questa idea: faccio vedere che $Dp=p$, da cui dovrebbe risultare che $p=0$, assurdo. Dando per buono che possa scambiare l'operatore di derivata con quello di limite ho
\[
Dp=D(\lim_{n\to+\infty} p_{n})=\lim_{n\to+\infty} D(p_{n})=\lim_{n\to+\infty}p_{n-1}=p
\]
Quindi per concludere velocemente basta dimostrare che $p_{n}\to e^{x}$ in $C^{0}[0,1]$?
Dovrebbe seguire dal fatto che il resto della serie esponenziale è infinitesimo
\[
||e^{x}-p_{n}||\le \sum_{i=n+1}^{+\infty}\frac{1}{i!}\to 0
\]
Senza usare Stone-Weierstrass, mi è venuta questa idea: faccio vedere che $Dp=p$, da cui dovrebbe risultare che $p=0$, assurdo. Dando per buono che possa scambiare l'operatore di derivata con quello di limite ho
\[
Dp=D(\lim_{n\to+\infty} p_{n})=\lim_{n\to+\infty} D(p_{n})=\lim_{n\to+\infty}p_{n-1}=p
\]
Ma cosa significa "lim"? Devi specificarlo. Limite puntuale? E non puoi "dare per buono" che limite e derivata commutano, in questo contesto. Infatti, a posteriori, stai dimostrando esattamente che \(D\) NON è continuo rispetto alla norma assegnata.
Inoltre, per seguire il suggerimento di 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 non serve Stone-Weierstrass, basta sapere che \(e^x\) non è un polinomio.
Inoltre, per seguire il suggerimento di 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 non serve Stone-Weierstrass, basta sapere che \(e^x\) non è un polinomio.
Ottimo quindi ho concluso.
$p=\lim_{n\to+\infty}p_{n}$ se e solo se $p_{n}\to p$ nella nostra norma, cioè $||p-p_{n}||\to 0$. In teoria sarebbe la solita convergenza uniforme in $C^{0}[0,1]$ (?)
$p=\lim_{n\to+\infty}p_{n}$ se e solo se $p_{n}\to p$ nella nostra norma, cioè $||p-p_{n}||\to 0$. In teoria sarebbe la solita convergenza uniforme in $C^{0}[0,1]$ (?)
Certo che sarebbe la solita convergenza uniforme. Ma allora NON puoi scambiare \(D\) con \(\lim\). E' proprio quello che stai dimostrando, \(D\) non è un operatore limitato e quindi non è neanche continuo! 
Sisi, in effetti ha poco senso. Grazie a tutti.
Se posso chiedervi un'ulteriore consiglio: se voglio dimostrare che uno spazio è di Banach conviene sempre partire dal prendere una successione di Cauchy e trovarne un'estratta convergente nello spazio? Ci sono criteri utili (per ora ne conosco di "poco utili")
Se posso chiedervi un'ulteriore consiglio: se voglio dimostrare che uno spazio è di Banach conviene sempre partire dal prendere una successione di Cauchy e trovarne un'estratta convergente nello spazio? Ci sono criteri utili (per ora ne conosco di "poco utili")
Questa domanda non può avere una risposta generale. La completezza di uno spazio normato è la prima delle proprietà che identificano gli spazi "giusti", quelli in cui si può fare dell'analisi, e quindi necessariamente è una cosa non banale, in generale. Se fosse solo una verifica tecnica, la proprietà di completezza non sarebbe così profonda.
L'unico "criterio" generale è quello dei sottospazi; un sottospazio vettoriale di uno spazio di Banach è completo se e solo se esso è chiuso. E' questo il criterio usato per il presente esercizio.
L'unico "criterio" generale è quello dei sottospazi; un sottospazio vettoriale di uno spazio di Banach è completo se e solo se esso è chiuso. E' questo il criterio usato per il presente esercizio.
ti ringrazio 
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