Operatore simmetrico.

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Sia uno spazio di Hilbert \( (H, \left< \cdot, \cdot \right> ) \) di dimensione infinita e un operatore lineare \( A \in \mathcal{L}(H) \) simmetrico e compatto t.q. \( (N(A), \left< \cdot, \cdot \right> \) è separabile. Sia ancora una successione ortonormata totale \( \{u_n\} \) di \(H\) formata da autovettori di \(A\) e la successione \( \{\lambda_n\}_n \) di autovalori corrispondenti. Per \( f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \) definiamo \( f(A):H \to H \) per
\[ \forall x \in H, f(A)x = \sum_{n \geq 1} f(\lambda_n) \left< x, u_n \right> u_n \]

a) Spiegare il significato della somma e dimostrare che \( f(A) \in \mathcal{L}(H) \), \( \parallel f(A) \parallel = \sup_{n } \left| f(\lambda_n) \right| \) e che \( f(A) \) è simmetrico

b) Trovare tutti gli autovalori di \( f(A) \)
c) Dimostra che \( f(A) \) è compatto sse \(f(0)=0\)

Solo una cosa, io non riuscivo a dimostrare che \( f(A) \) è simmetrico e le soluzioni mi fanno questo:

\(f(A) \) è simmetrico poiché
\[ \left< f(A)x,y \right> = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left< f(\lambda_k) \left< x,u_k \right> u_k, y \right> \]
\[ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(\lambda_k) \left< x,u_k \right> \left< u_k, y \right> \]
\[ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left< x, f(\lambda_k) \left< y,u_k \right> u_k \right> \]
\[ = \left< x, f(A)y \right> \]

Ora se non sbaglio in un prodotto scalare vale \( \left< x, y \right> = \overline{\left< y, x \right>} \) dunque non capisco come faccia a dire
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(\lambda_k) \left< x,u_k \right> \left< u_k, y \right> \]
\[ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left< x, f(\lambda_k) \left< y,u_k \right> u_k \right> \]
come fa a togliere la coniugazione complessa?

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Niente... sono un idiota.
La applica due volte! È sesquilinare...
E pensare che ci ho pensato a lungo