Operatore aggiunto
Salve mi servirebbe aiuto riguardo il seguente esercizio. Ho H = $l^2(Z)$ e sia U operatore da H in H dato da: $(Ux)_k = x_(k+1)$
Per prima cosa mi chiede di determinare l'aggiunto.
Ho provato ad utilizzare la relazione che $(x_m, Ux_n) = (U^+x_m, x_n)$ ma ho delle difficoltà, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie!
Per prima cosa mi chiede di determinare l'aggiunto.
Ho provato ad utilizzare la relazione che $(x_m, Ux_n) = (U^+x_m, x_n)$ ma ho delle difficoltà, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie!
Risposte
Beh, innanzitutto, osserva che per definizione l’aggiunto è l’unico operatore tale che:
\[
\langle \mathbf{x} , U\mathbf{y} \rangle = \langle U^+ \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle \; .
\]
Per calcolare l’aggiunto basta sviluppare il prodotto scalare e riscriverlo decentemente:
\[
\langle \mathbf{x} , U\mathbf{y} \rangle = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} x_n y_{n+1} \stackrel{k=n+1}{=} \sum_{k = - \infty}^{+\infty} x_{k-1} y_k = \langle U^+ \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle
\]
da cui $(U^+ mathbf(x) )_k = x_(k-1)$ per ogni $k in ZZ$.
P.S.: Qui ho considerato lo spazio $l^2(ZZ)$ reale. Se serve quello complesso devi mettere qualche coniugato qui e là.
\[
\langle \mathbf{x} , U\mathbf{y} \rangle = \langle U^+ \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle \; .
\]
Per calcolare l’aggiunto basta sviluppare il prodotto scalare e riscriverlo decentemente:
\[
\langle \mathbf{x} , U\mathbf{y} \rangle = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} x_n y_{n+1} \stackrel{k=n+1}{=} \sum_{k = - \infty}^{+\infty} x_{k-1} y_k = \langle U^+ \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle
\]
da cui $(U^+ mathbf(x) )_k = x_(k-1)$ per ogni $k in ZZ$.
P.S.: Qui ho considerato lo spazio $l^2(ZZ)$ reale. Se serve quello complesso devi mettere qualche coniugato qui e là.
Capito! Grazie infinite per la risposta
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