Open ball distanza 1

[FabioA_97]

L'"open ball" definita con distanza 1 $ B_{d_1}(f,r) $ è definita nel seguente modo $ B_{d_1}(f,r):={g\inC°[a,b] : int_a^b\abs{f(x)-g(x)}dx graficamente a lezione sono stati realizzate queste rappresentazioni dove in nero abbiamo la funzione $ f $ e in verde e rosso due possibili casi della funzione $ g $.

la mia interpretazione al secondo caso è stata quella che il picco verso il basso "compensa" quello verso l'alto in modo da eliminarsi, ma essendoci il modulo all'interno dell'integrale credo che questa mia interpretazione non sia corretta. come posso capire che anche nel secondo caso la funzione $ g $ in rosso è una buona rappresentazione della "ball" $ B_{d_1}(f,r) $?

[dissonance]

Non é che un picco compensa l'altro. Il punto é che i due picchi sono grandi in altezza, ma hanno una base stretta. Siccome la tua norma é data da un integrale, ció che importa é l'area sottesa dai picchi, non il valore massimo che possono assumere.

[pilloeffe]

Ciao FabioA_97,

"FabioA_97": L'"open ball" definita con distanza 1 $ B_{d_1}(f,r)$ è definita nel seguente modo $ B_{d_1}(f,r):={g\inC°[a,b] : int_a^b\abs{f(x)-g(x)}dx
Scusa, con distanza 1 da che cosa? Te lo chiedo perché il simbolo a pedice $d_1$ che hai usato di fatto non interviene nella definizione, si potrebbe tranquillamente definire la palla aperta nel modo seguente:

$B(f,r) := {g\in C°[a,b] : \int_a^b \abs{f(x) - g(x)} \text{d}x < r} $

[dissonance]

@pilloeffe: si riferisce all'esponente dentro l'integrale, é notazione comune. Piú in generale
\[
d_p(f, g)=\left(\int\lvert f-g\rvert^p\, dx\right)^\frac1p.\]
Sono solo notazioni.

[pilloeffe]

"dissonance":Sono solo notazioni.

Concordo, grazie dissonance.
Diciamo che personalmente mi sarebbe piaciuta di più una definizione del tipo seguente:

$ B_p (f, r) := {g \in C^0 [a,b] : d_p[f(x), g(x)] < r} $

ove $ d_p[f(x), g(x)] := (\int_a^b |f(x) - g(x)|^p \text{d}x)^{1/p} $ è la distanza $p$

Nel caso particolare di distanza $1$ naturalmente sarebbe diventata la seguente:

$ B_1 (f, r) := {g \in C^0 [a,b] : d_1[f(x), g(x)] < r} $

ove $ d_1[f(x), g(x)] := \int_a^b |f(x) - g(x)| \text{d}x $ è la distanza $1$ o, più semplicemente, omettendo il pedice $1$:

$ B(f, r) := {g \in C^0 [a,b] : d[f(x), g(x)] < r} $

ove $ d[f(x), g(x)] := \int_a^b |f(x) - g(x)| \text{d}x $ è la distanza $1$