Olomorfia Logaritmo

[Avelyne]

Salve,
sicuramente questa è una domanda banale. Ma non riesco a capire bene dove è olomorfa questa funzione:
$Log(-2 + i|z| - i)$
So che $Re(z) = -2$ e che $Im(z) = |z| - 1$
Inoltre so che ho olomorfia in:
$C - {z \in C : Re(z) <= 0, Im(z) = 0}$
In questo caso però Re(z) è sempre minore di 0, questo vuol dire che è olomorfa in tutto $C - {|z| = 1}$? Oppure è olomorfa in $C$**? Mi basta sapere che $Im(z) \ne 0$?

Inoltre ho questo esercizio:
$(Log(2z))^{sqrt(3)}$ trovare insieme di definizione e olomorfia.
Come suggerimento dice di fare $e^{sqrt(3)Log(Log(2z))}$

Quindi ho trovato che per l'insieme di definizione ho :
$2z \ne 0$ quindi $z \ne 0$ e $Log(2z) \ne 0$ quindi $z \ne 1/2$

Per olomorfia trovo:
$Re(2z) \leq 0$ quindi $2x \leq 0$ e $Re(Log(2z)) \leq 0$ quindi $log|2z| \leq 0$ Questo vorrebbe dire che $sqrt(x^2 + y^2) \leq 1/2$?
$Im(2z) = 0$ quindi $ z = 0$ e $Im(Log(2z) = 0$ quindi $Arg(2z) = 0$?

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda il primo esercizio, prima di tutto è necessario osservare che la presenza di $|z|$ rappresenta un problema.