Ogni funzione bilineare è continua?
Mi chiedevo se ogni funzione bilineare $F:A \times B -> RR$ è continua.
Ad esempio nel caso di forme quadratiche $F:RR^n \times RR^n->RR$ definite da $F(x,y)=x^T Ay$ con $A \in M_n(RR)$ questo è chiaramente vero ma non mi viene in mente come lo si possa dimostrare per funzioni bilineari qualsiasi.
Ad esempio nel caso di forme quadratiche $F:RR^n \times RR^n->RR$ definite da $F(x,y)=x^T Ay$ con $A \in M_n(RR)$ questo è chiaramente vero ma non mi viene in mente come lo si possa dimostrare per funzioni bilineari qualsiasi.
Risposte
Che differenza c'è tra il caso che capisci come dimostrare e quello generale?
Nel caso di forme quadratiche la funzione è un polinomio di secondo grado, che è ovviamente continuo.
Se ad esempio considero la funzione $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$ definita sul prodotto cartesiano di due spazi di misure di probabilità, mi è meno chiaro che si tratta di una funzione continua.
Se ad esempio considero la funzione $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$ definita sul prodotto cartesiano di due spazi di misure di probabilità, mi è meno chiaro che si tratta di una funzione continua.
Una funzione bilineare è una funzione che, ristretta a uno dei suoi argomenti, è lineare: supponi che \(B : V \times W \to K\) sia bilineare, e che \(B(v, \_)\) però non sia continua come funzion(al)e su \(W\); allora, da ciò cosa evinci, visto che una funzione con dominio un prodotto è continua se e solo se lo è su ciascuna delle componenti? Questa $B$ si può costruire? Ossia, le coppie di funzioni lineari \(u : V\to K\) e \(v : W\to K\) catturano tutte le funzioni bilineari mediante la regola
\[
\begin{CD}
V \times W @>>u\times v> K \times K @>>\cdot> K
\end{CD}
\] oppure è necessaria una qualche compatibilità in più in una applicazione bilineare?
\[
\begin{CD}
V \times W @>>u\times v> K \times K @>>\cdot> K
\end{CD}
\] oppure è necessaria una qualche compatibilità in più in una applicazione bilineare?
Penso di non aver capito, se $B:V \times W -> K$ è bilineare allora come può $B(v, \_ ):W->K$ non essere lineare?
Sarà lineare certo. Quello che intendo è che può non essere continua, forse.
Stavo cercando di farci arrivare l@i, sì. 
Ok, allora nel caso ad esempio della funzione $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$ come posso provare la continuità?
Prima di tutto devi specificare che topologia intendi su \(\phi\) e \(\psi\). Se sono topologie di spazio normato, \(F\) è continua se e solo se esiste \(C>0\) tale che
\[
\lvert F(\phi, \psi)\rvert\le C\lVert \phi\rVert \lVert \psi\rVert. \]
\[
\lvert F(\phi, \psi)\rvert\le C\lVert \phi\rVert \lVert \psi\rVert. \]
Sullo spazio di misure di probabilità $P(A)$ metto la topologia debole *.
Ho quindi che una successione $(\phi_k)_{k\inNN}$ converge a $\phi\inP(A)$ se per ogni $f\inC(A)$ si ha che $lim_{k->oo} \int_A f(x) d\phi_k(x) = \int_A f(x) d\phi(x)$.
Analogamente su $P(B)$ metto la topologia debole *.
Infine considero $P(A) \times P(B)$ con la topologia prodotto debole *.
Il mio dubbio era come poter provare la continuità della funzione $F:P(A)\timesP(B)->RR$ definita da $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$.
Ho quindi che una successione $(\phi_k)_{k\inNN}$ converge a $\phi\inP(A)$ se per ogni $f\inC(A)$ si ha che $lim_{k->oo} \int_A f(x) d\phi_k(x) = \int_A f(x) d\phi(x)$.
Analogamente su $P(B)$ metto la topologia debole *.
Infine considero $P(A) \times P(B)$ con la topologia prodotto debole *.
Il mio dubbio era come poter provare la continuità della funzione $F:P(A)\timesP(B)->RR$ definita da $F(\phi,\psi)=\int_{RR^2}f(x,y)d\phi(x)d\psi(y)$.
Intanto, affinché l'integrale abbia senso, \(f\) deve essere limitata. Inoltre, se \(f\) non è continua, allora \(F\) non è continua, come si può vedere considerando successioni
\[
d\phi_n= \delta_{x_n}, \qquad d\psi_n=\delta_{y_n}, \]
dove \(x_n,\ y_n\) sono successioni convergenti di punti di \(\mathbb R\).
Bisogna quindi assumere che \(f\) sia continua e limitata. Secondo me questa assunzione è anche sufficiente alla continuità di \(F\), ma bisogna dimostrarlo. Credo si faccia così; supponendo \(d\phi_n \to d\phi, d\psi_n\to d\psi\), occorre dimostrare che
\[\tag{*}
\left\lvert F(\psi_n, \phi_n)-F(\psi, \phi)\right\rvert \to 0.\]
A questo scopo, osserviamo che
\[
F(\psi_n, \phi_n)-F(\psi, \phi) = \int_{\mathbb R^2} f(x, y)\left[d\phi_n(x)(d\psi_n(y)-d\psi(y))+(d\phi_n(x)-d\phi(x))d\psi_n(y)\right].\]
Da qui non dovrebbe essere difficile arrivare a provare (*).
\[
d\phi_n= \delta_{x_n}, \qquad d\psi_n=\delta_{y_n}, \]
dove \(x_n,\ y_n\) sono successioni convergenti di punti di \(\mathbb R\).
Bisogna quindi assumere che \(f\) sia continua e limitata. Secondo me questa assunzione è anche sufficiente alla continuità di \(F\), ma bisogna dimostrarlo. Credo si faccia così; supponendo \(d\phi_n \to d\phi, d\psi_n\to d\psi\), occorre dimostrare che
\[\tag{*}
\left\lvert F(\psi_n, \phi_n)-F(\psi, \phi)\right\rvert \to 0.\]
A questo scopo, osserviamo che
\[
F(\psi_n, \phi_n)-F(\psi, \phi) = \int_{\mathbb R^2} f(x, y)\left[d\phi_n(x)(d\psi_n(y)-d\psi(y))+(d\phi_n(x)-d\phi(x))d\psi_n(y)\right].\]
Da qui non dovrebbe essere difficile arrivare a provare (*).
Per ottenere l'espressione di $F(\psi_n,\phi_n)-F(\psi,\phi)$ immagino tu abbia aggiunto e tolto $F(\psi_n, \phi)$.
A me viene $F(\psi_n,\phi_n)-F(\psi,\phi) = \int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))+(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]$
A questo punto $|\int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))+(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]|=$
$=|\int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))]+ \int_{RR^2} f(x,y) [(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]|<=$
$<=|\int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))]|+ |\int_{RR^2} f(x,y) [(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]|$
Ora però come posso usare il fatto che $(\psi_n,\phi_n)->(\psi,\phi)$ nella topologia debole * per provare che quei due moduli tendono a 0?
A me viene $F(\psi_n,\phi_n)-F(\psi,\phi) = \int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))+(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]$
A questo punto $|\int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))+(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]|=$
$=|\int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))]+ \int_{RR^2} f(x,y) [(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]|<=$
$<=|\int_{RR^2} f(x,y) [d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))]|+ |\int_{RR^2} f(x,y) [(d\psi_n(x)-d\psi(x))d\phi(y)]|$
Ora però come posso usare il fatto che $(\psi_n,\phi_n)->(\psi,\phi)$ nella topologia debole * per provare che quei due moduli tendono a 0?
Si, ho aggiunto e sottratto. Usa Fubini per concludere.
Se ad esempio guardo il primo integrale
$|\int_{RR^2}f(x,y)[d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))]|=$
$=|\int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\psi_n(x)d\phi_n(y) - \int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\psi_n(x)d\phi(y)|=$
$=|\int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\phi_n(y)d\psi_n(x) - \int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\phi(y)d\psi_n(x)|=$
$=|\int_{RR}(\int_{RR}f(x,y)d\phi_n(y)- \int_{RR}f(x,y)d\phi(y))d\psi_n(x)|$
ma a questo punto in che modo mi viene in aiuto Fubini?
$|\int_{RR^2}f(x,y)[d\psi_n(x)(d\phi_n(y)-d\phi(y))]|=$
$=|\int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\psi_n(x)d\phi_n(y) - \int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\psi_n(x)d\phi(y)|=$
$=|\int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\phi_n(y)d\psi_n(x) - \int_{RR}\int_{RR}f(x,y)d\phi(y)d\psi_n(x)|=$
$=|\int_{RR}(\int_{RR}f(x,y)d\phi_n(y)- \int_{RR}f(x,y)d\phi(y))d\psi_n(x)|$
ma a questo punto in che modo mi viene in aiuto Fubini?
Hai già usato Fubini, per integrare prima in \(y\) e poi in \(x\). Benissimo. Ora, l'integrale in parentesi tonda tende a 0 per definizione di convergenza debole, quindi penso proprio che tutto quell'integrale doppio tende a 0 pure lui. In effetti resterebbe da dimostrare che si può passare al limite sotto il segno di integrale in \(d\psi_n(x)\). Questa sarà sicuramente una applicazione della convergenza dominata.
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