Numero di forme cubiche che rispettano certe condizioni.

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Non capisco una stima che fa di una somma.
Sano \( a,b,c,d \) i coefficienti di una forma cubica binaria di discriminante \( 0 < D \leq X \), e tale che \( a >0 \) e \( a < X^{\eta} \). Abbiamo che se fissiamo \( a,b,c \) allora il valore di \(d \) è ristretto dalle seguenti disuguaglianze (da un lemma precedente)
\[ a \left| d \right| < X^{1/2}, \left| b^3 d \right| < 8 X , c^2 \left| bc-9ad \right| 4 X \]
quindi il numero di possibili scelte per \(d\) è dato da
\[ O( \min\{ X^{1/2} a^{-1}, X \left| b \right|^{-3} , X a^{-1} c^{-2} \} ) \]
omettendo il termine corrispondente se \(b\) o \(c \) sono uguali a zero. È sufficiente quindi sommare su \(a,b,c \) tenendo in considerazione che \( 0 < a < X^{\eta} \). Sia
\[ m = m(a,b) = \min\{ X^{1/2} a^{-1}, X \left| b \right|^{-3} \} \]
allora la somma su \(c\) ci da (la seguente stima non capisco)
\[ O \left( \sum_{c} \min( m , X a^{-1} c^{-2} ) \right) = O(m X^{1/2} a^{-1/2} m^{-1/2} ) \]
notiamo che \( X^{1/2} a^{-1/2} m^{-1/2} > 1 \) siccome \( m \leq X^{1/2} a^{-1} \). La somma su \( b \) diventa quindi (pure la seguente stima non capisco)
\[ O \left( X^{1/2} a^{-1/2} \sum_{b} \min( X^{1/4} a^{-1/2} , X^{1/2} \left| b \right|^{-3/2} ) \right) = O\left( X^{1/2} a^{-1/2} X^{1/4} a^{-1/2} X^{1/6} a^{1/3} \right) = O(X^{11/12} a^{-2/3}) \]
infinte sommando su \(a\) otteniamo \( O(X^{11/12 + \eta/3} ) \).

Non capisco la somma su \(c\) e la somma su \(b\), cioè capisco perché fa quelle somme ma non capisco i passaggi che fa per ottenere quel O grande.

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Ho capito, basta spezzare la somma
\[ \sum_{ X a^{-1} c^{-2} m } m \]
\[ \ll X a^{-1} \sum_{ c > X^{1/2} a^{-1/2} m^{-1/2} } c^{-2} + m X^{1/2} a^{-1/2} m^{-1/2} \]
\[ \ll X a^{-1} \int_{ X^{1/2} a^{-1/2} m^{-1/2}}^{\infty} t^{-2} dt + m X^{1/2} a^{-1/2} m^{-1/2} \]
e si ottiene il risultato, in modo analogo per l'altra somma.