Notazione $delta$-Dirac / distribuzioni
Ciao a tutti,
ho incontrato in molti testi di fisica ed ingegneria l'oggetto matematico delle distribuzioni con tutta la teoria annessa (formulazione debole, funzioni di green...) tuttavia non ho mai avuto all'università un vero e proprio corso di matematica che trattasse nel dettaglio l'argomento. Ultimamente mi sono messo un po' a studiare la teoria delle distribuzioni sulle delle dispense di un mio vecchio professore. Non sono sceso molto nel dettaglio per ora, ma sicuramente hanno fatto chiarezza, ma hanno portato anche tante confusione: soprattuto per quanto riguarda la notazione. Prenderò come esempio quello della delta di Dirac perché il caso "particolare" che più si incontra nelle discipline ingegneristiche e fisiche.
Innanzi tutto le distribuzioni (da quello che ho capito) sono funzionali lineari continui, quindi sono operatori. In particolare la $delta$ di Dirac dovrebbe essere una misura. Ora la delta di Dirac è definita, almeno sulle mie dispense, come
$\delta : D(R) \rightarrow R$
$\delta : \phi \rightarrow \phi(0)$
E quindi $< \delta, \phi > = \phi(0)$. Mi spiegate perché nei libri non di matematica si trova sempre $\int \delta(x)f(x)dx = f(0)$ ?? Secondo me non ha senso come scrittura...
Tuttavia ho notato quest'altra cosa invece:
$f(x_0) = f(x) \delta(x-x_0)$
Questa cosa ha perfettamente senso. Adesso immaginiamo di ripetere il procedimento per $x_1$, $x_2$ ecc... in questo modo troverò $f(x_1)$, $f(x_2)$, ecc... A questo punto mi verrebbe *intuitivamente* da scrivere:
$f(x) = \int f(x') \delta(x-x')dx'$
Però non mi torna nemmeno troppo.
Gradirei imparare a gestire la notazione con l'integrale perché in tutti i libri che uso viene usate ed anche perché, a mio avviso, è più comoda (nel senso che uno la usa senza sapere troppo la teoria e i risultati escono lo stesso... almeno per quello che se ne fai nei corsi di ingegneria o fisica).
Grazie in anticipo.
EDIT:
Ma ora che ci penso neanche troppo... anzi $f(x) = f(x')\delta(x-x') \forall x$ dovrebbe andare più che bene credo...
ho incontrato in molti testi di fisica ed ingegneria l'oggetto matematico delle distribuzioni con tutta la teoria annessa (formulazione debole, funzioni di green...) tuttavia non ho mai avuto all'università un vero e proprio corso di matematica che trattasse nel dettaglio l'argomento. Ultimamente mi sono messo un po' a studiare la teoria delle distribuzioni sulle delle dispense di un mio vecchio professore. Non sono sceso molto nel dettaglio per ora, ma sicuramente hanno fatto chiarezza, ma hanno portato anche tante confusione: soprattuto per quanto riguarda la notazione. Prenderò come esempio quello della delta di Dirac perché il caso "particolare" che più si incontra nelle discipline ingegneristiche e fisiche.
Innanzi tutto le distribuzioni (da quello che ho capito) sono funzionali lineari continui, quindi sono operatori. In particolare la $delta$ di Dirac dovrebbe essere una misura. Ora la delta di Dirac è definita, almeno sulle mie dispense, come
$\delta : D(R) \rightarrow R$
$\delta : \phi \rightarrow \phi(0)$
E quindi $< \delta, \phi > = \phi(0)$. Mi spiegate perché nei libri non di matematica si trova sempre $\int \delta(x)f(x)dx = f(0)$ ?? Secondo me non ha senso come scrittura...
Tuttavia ho notato quest'altra cosa invece:
$f(x_0) = f(x) \delta(x-x_0)$
Questa cosa ha perfettamente senso. Adesso immaginiamo di ripetere il procedimento per $x_1$, $x_2$ ecc... in questo modo troverò $f(x_1)$, $f(x_2)$, ecc... A questo punto mi verrebbe *intuitivamente* da scrivere:
$f(x) = \int f(x') \delta(x-x')dx'$
Però non mi torna nemmeno troppo.
Gradirei imparare a gestire la notazione con l'integrale perché in tutti i libri che uso viene usate ed anche perché, a mio avviso, è più comoda (nel senso che uno la usa senza sapere troppo la teoria e i risultati escono lo stesso... almeno per quello che se ne fai nei corsi di ingegneria o fisica).
Grazie in anticipo.
EDIT:
"dRic":
A questo punto mi verrebbe *intuitivamente* da scrivere:
$f(x) = \int f(x') \delta(x-x')dx'$
Ma ora che ci penso neanche troppo... anzi $f(x) = f(x')\delta(x-x') \forall x$ dovrebbe andare più che bene credo...
Risposte
"dRic":
$f(x_0) = f(x) \delta(x-x_0)$
Questa cosa ha perfettamente senso.
E invece non ne ha affatto: esercizio, perché?
Sono d'accordo con fmnq, quella formula è completamente sbagliata.
Consiglio l'Appendice A di questo survey, molto ben scritto:
https://arxiv.org/pdf/1701.06895.pdf
per qualche informazione in più sui calcoli con la \(\delta\). Gli autori (Foschi - Oliveira e Silva) sono due matematici. In particolare, scrivere \(\int f(x)\delta(x-x_0)\, dx\) non è affatto scandaloso, a patto che uno sappia cosa sta facendo.
Consiglio l'Appendice A di questo survey, molto ben scritto:
https://arxiv.org/pdf/1701.06895.pdf
per qualche informazione in più sui calcoli con la \(\delta\). Gli autori (Foschi - Oliveira e Silva) sono due matematici. In particolare, scrivere \(\int f(x)\delta(x-x_0)\, dx\) non è affatto scandaloso, a patto che uno sappia cosa sta facendo.
Proverò a leggere l'articolo, grazie.
Comunque pensavo che fosse una definizione anche quella: come ho definito la delta in $0$, analogamente lo potevo fare quel qualsiasi altro punto. Alla fine mi sembra solo un "cambio di variabili"...
Se $f(0) = \delta(x) f$ perché $f(x_1) = \delta(x_1) f$ non dovrebbe essere corretta ?
Comunque nelle dispense che sto leggendo c'è proprio scritto:
Comunque pensavo che fosse una definizione anche quella: come ho definito la delta in $0$, analogamente lo potevo fare quel qualsiasi altro punto. Alla fine mi sembra solo un "cambio di variabili"...
Se $f(0) = \delta(x) f$ perché $f(x_1) = \delta(x_1) f$ non dovrebbe essere corretta ?
Comunque nelle dispense che sto leggendo c'è proprio scritto:
[...] quando la distribuzione in questione non è una funzione, è importante capire che la scrittura integrale non ha più alcun senso. Si eviti, ad esempio, l'uso della scrittura scorretta
$\int delta(x) \phi(x) dx = \phi(0)$
per indicare $< \delta, \phi> = \phi(0)$
Ma certo che no. Studi ingegneria? Credo che gli ingegneri chiamino la delta "impulso unitario" e la rappresentano in un grafico con una freccetta verso l'alto. Ora, il grafico di \(f(x_1)\) è quello di una costante, mentre il grafico di \(\delta(x_1)f(x)\) è quello di una freccetta in \(x_1\). Sono due cose completamente diverse.
Si studio ingegneria. Continuo a non capire... $\delta(x) phi(x) = \phi(0)$ è corretto per definizione, giusto ? Allora come è possibile che $\delta(x_1)\phi(x) != \phi(x_1)$ ?
È sbagliato. Ciò che è corretto è
\[
\delta(x)\phi(x)=\delta(x)\phi(0),\]
e quindi, in un punto \(x_1\in\mathbb R\) arbitrario,
\[
\delta(x-x_1)\phi(x)=\delta(x-x_1)\phi(x_1).\]
Lascia perdere l'articolo che ti ho citato, non è quello che ti serve in questo momento.
P.S.: Prova piuttosto a dare un'occhiata a questa dispensa viewtopic.php?p=619849#p619849
\[
\delta(x)\phi(x)=\delta(x)\phi(0),\]
e quindi, in un punto \(x_1\in\mathbb R\) arbitrario,
\[
\delta(x-x_1)\phi(x)=\delta(x-x_1)\phi(x_1).\]
Lascia perdere l'articolo che ti ho citato, non è quello che ti serve in questo momento.
P.S.: Prova piuttosto a dare un'occhiata a questa dispensa viewtopic.php?p=619849#p619849
"dRic":
Si studio ingegneria. Continuo a non capire... $\delta(x) phi(x) = \phi(0)$ è corretto per definizione, giusto ? Allora come è possibile che $\delta(x_1)\phi(x) != \phi(x_1)$ ?
C'è differenza tra \(\int_{\mathbb R} \delta(x) \phi(x) = \phi(0)\) e \(\delta(x) \phi(x) = \phi(0)\); la prima cosa è ciò che definisce $\delta$, la seconda non ha senso. Moralmente, le distribuzioni non esistono se non accoppiate con la funzione di cui si stanno nutrendo.
Ah forse mi si accesa la lampadina. Ho una domanda.
La delta di dirac è "quel qualcosa" che prende una funzione e ne restituisce il valore in zero. E' un operatore. Perché si si scrive come un integrale?! Non ha senso secondo me questa cosa. Potevo inventarmi un qualsiasi altro simbolo...
Perché, per esempio, non si usa la delta di dirac così:
$T[f(x)] = f(0)$
??
Come mai si introduce l'integrale e come mai funziona tutto così bene ?
Guarderò le dispense comunque. Grazie ancora
La delta di dirac è "quel qualcosa" che prende una funzione e ne restituisce il valore in zero. E' un operatore. Perché si si scrive come un integrale?! Non ha senso secondo me questa cosa. Potevo inventarmi un qualsiasi altro simbolo...
Perché, per esempio, non si usa la delta di dirac così:
$T[f(x)] = f(0)$
??
Come mai si introduce l'integrale e come mai funziona tutto così bene ?
Guarderò le dispense comunque. Grazie ancora
Perché data una funzione integrabile $g\in \mathcal I(K) = V$ su un certo dominio $K$, l'insieme $V$ è uno spazio vettoriale (è semplicemente la chiusura delle funzioni integrabili wrt somma e riscalamento), e si ha che la mappa \(\int_Kg\cdot \_ : f\mapsto \int g\cdot f\) è un funzionale su $V$ (è cioè una mappa lineare \(\int_Kg\cdot \_ : V \to \mathbb R\), o se vuoi fare la persona seria, un elemento dello spazio duale di $V$; questo discende da note proprietà di $RR$-linearità dell'integrale associato a una misura).
Questa è praticamente la definizione di distribuzione, se la leggi su un testo successivo al 1950.
Questa è praticamente la definizione di distribuzione, se la leggi su un testo successivo al 1950.
Se vuoi ripristinare l'integrale dalla dualità che ti dà la definizione della $\delta$ basta che scrivi $\int \phi(x)d\delta_0(x)=\phi(0)$. Questa scrittura è corretta, ma con $dx$ no.
La notazione integrale deriva dal fatto che le seguenti sono distribuzioni:
- [*:1xsg9fvq] Le funzioni di \(L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})\) (le funzioni localmente integrabili), ed in questo caso vale \(\displaystyle \langle f, \phi\rangle = \int f\phi\,dx \) dove \(dx\) è la misura standard su \(\displaystyle \mathbb{R} \).[/*:m:1xsg9fvq]
[*:1xsg9fvq] Ogni misura \(\mu\) di Radon dove si ha \(\displaystyle \langle \mu, \phi \rangle = \int \phi\,d\mu \) (nota che il delta di dirac \(\delta\) e in generale le misure puntuali \(\delta_x\) possono essere viste come misure di Radon). [/*:m:1xsg9fvq][/list:u:1xsg9fvq]
Esistono distribuzioni che non sono di questi due tipi ma poco importa ora. Il punto è che è comune vedere le distribuzioni come la generalizzazione del primo gruppo. Per il secondo gruppo il farlo è "accettabile" perché sotto certe ipotesi è possibile scrivere una misura attraverso un'altra.
Forse ho capito. Io parto dalla definizione della delta di dirac "generale", ovvero specificandone solo le proprietà. Dunque mi accorgo che quelle proprietà che ho definito in maniera "generale" le posso vedere come un integrale con la misura $\delta$.
In altre parole: la delta di Dirac non ha bisogno dell'integrale per essere definita, ma, una volta definita, puoi essere interpretata attraverso un particolare integrale. Corretto?
In altre parole: la delta di Dirac non ha bisogno dell'integrale per essere definita, ma, una volta definita, puoi essere interpretata attraverso un particolare integrale. Corretto?
Il delta di dirac può essere definito in vari modi:
[list=1][*:ce6askd6] A partire dalla sua azione su \(C^{\infty}_c(\mathbb{R})\) ovvero dalla formula \( \displaystyle \langle \delta, \phi\rangle = \phi(0\).[/*:m:ce6askd6]
[*:ce6askd6] Come la distribuzione indotta dalla misura di Dirac su \(\mathbb{R}\).[/*:m:ce6askd6]
[*:ce6askd6] Come limite di una particolare successione in \(D'(R)\).[/*:m:ce6askd6]
[*:ce6askd6] Come la derivata distribuzionale della funzione gradino di Heaviside. [/*:m:ce6askd6][/list:o:ce6askd6]
E verosimilmente in molti altri modi.
Non esiste una definizione generale, ogn'una di queste definizioni può essere vista come la definizione della distribuzione di dirac. Sta a chi la usa scegliere la definizione che gli è più utile.
L'uso della notazione integrali ha ragioni storiche e "interpretative".
[list=1][*:ce6askd6] A partire dalla sua azione su \(C^{\infty}_c(\mathbb{R})\) ovvero dalla formula \( \displaystyle \langle \delta, \phi\rangle = \phi(0\).[/*:m:ce6askd6]
[*:ce6askd6] Come la distribuzione indotta dalla misura di Dirac su \(\mathbb{R}\).[/*:m:ce6askd6]
[*:ce6askd6] Come limite di una particolare successione in \(D'(R)\).[/*:m:ce6askd6]
[*:ce6askd6] Come la derivata distribuzionale della funzione gradino di Heaviside. [/*:m:ce6askd6][/list:o:ce6askd6]
E verosimilmente in molti altri modi.
Non esiste una definizione generale, ogn'una di queste definizioni può essere vista come la definizione della distribuzione di dirac. Sta a chi la usa scegliere la definizione che gli è più utile.
L'uso della notazione integrali ha ragioni storiche e "interpretative".
Ok ho capito grazie mille a tutti.
Comunque con notazione integrale comunemente si intende questa: $\int f(x)\delta(x)dx$ ? Perché proprio volendola usare allora sono d'accordo con @Luca.Lussardi quando dice che si dovrebbe scrivere $\int f(x) d\delta(x)$. Poi mi ricordo che $d\mu(x)$ viene spesso scritto come $\mu dx$, ma è una notazione che mi ha mandato in palla per parecchio tempo
L'uso della notazione integrali ha ragioni storiche e "interpretative".
Comunque con notazione integrale comunemente si intende questa: $\int f(x)\delta(x)dx$ ? Perché proprio volendola usare allora sono d'accordo con @Luca.Lussardi quando dice che si dovrebbe scrivere $\int f(x) d\delta(x)$. Poi mi ricordo che $d\mu(x)$ viene spesso scritto come $\mu dx$, ma è una notazione che mi ha mandato in palla per parecchio tempo

Secondo me, se sei un ingegnere, dovresti davvero leggerti la paginetta di Dirac in cui ha inventato la "funzione \(\delta\)". È una lettura molto più importante di tanta teoria delle distribuzioni. È da lì che viene l'uso, matematicamente errato ma molto efficace, di scrivere \(\delta(x)\, dx\). È un uso che approvo, e che ho visto in matematici di altissimo livello (vedi l'articolo di arXiv del mio post precedente).
"dissonance":
Secondo me, se sei un ingegnere, dovresti davvero leggerti la paginetta di Dirac in cui ha inventato la "funzione \(\delta\)". È una lettura molto più importante di tanta teoria delle distribuzioni. È da lì che viene l'uso, matematicamente errato ma molto efficace, di scrivere \(\delta(x)\, dx\). È un uso che approvo, e che ho visto in matematici di altissimo livello (vedi l'articolo di arXiv del mio post precedente).
Cercherò di leggermela (anche se il link non mi funzione). Il mio "problema" è che lo scorso anno ho avuto un corso di "metodi matematici" con un prof che era veramente molto pignolo anche sulle notazioni e forse la cosa mi ha fatto più male che bene


Usare la notazione $\int f(x)\delta_0(x)dx$ va benissimo ovviamente ma a patto che si ricordi che non si tratta di un integrale fatto rispetto alla misura $dx$. Per evitare ogni ambiguità di notazione io a lezione ho sempre usato la dualità alla Dirac invece che l'integrale.
"Luca.Lussardi":
Usare la notazione $\int f(x)\delta_0(x)dx$ va benissimo ovviamente ma a patto che si ricordi che non si tratta di un integrale fatto rispetto alla misura $dx$. Per evitare ogni ambiguità di notazione io a lezione ho sempre usato la dualità alla Dirac invece che l'integrale.
Certamente; è sicuramente più corretto dal punto di vista formale, e probabilmente va meglio per una lezione di matematica. Dipende da quello che uno fa, immagino. Nell'articolo che ho citato, che come notazioni risale a Klainerman e Machedon (anni '90), si usa \(\delta(x)\, dx\) per poter sfruttare questa formula:
\[
\delta(\phi(x))dx=\frac{d\sigma}{|\nabla \phi(x)|},\]
dove \(d\sigma\) è la misura superficiale su \(\{x\in\mathbb R^n\ :\ \phi(x)=0\}\). Questa formula permette di scrivere gli integrali di superficie come integrali su \(\mathbb R^n\); per esempio
\[
\int_{\mathbb S^{n-1}} f\, d\sigma = \int_{\mathbb R^n} f(x)\delta(1-|x|)\, dx, \]
perché \(\nabla(1-|x|)\) ha modulo \(1\) su \(\mathbb S^{n-1}\).
Il vantaggio di questa notazione è che il teorema della divergenza diventa, formalmente, una integrazione per parti standard. Infatti, usando la notazione \(H(t)\) per il gradino di Heaviside,
\[
\begin{split}
\int_{|x|\le 1}\partial_{x_j} f(x)\, dx &= \int_{\mathbb R^n} \partial_{x_j}f(x) H(1-|x|)\, dx \\
&=-\int_{\mathbb R^n} f(x)\partial_{x_j}\big( H(1-|x|)\big)\, dx \\
&= -\int_{\mathbb R^n} f(x)H'(1-|x|)\left( -\frac{x_j}{|x|}\right)\, dx \\
&=\int_{\mathbb R^n} f(x)\delta(1-|x|) x_j\, dx \\
&=\int_{\mathbb S^{n-1}}f n_j\ d\sigma,
\end{split}
\]
dove \(n_j\) denota la \(j\)-esima componente del versore normale a \(\mathbb S^{n-1}\). Qui ho preso la sfera, ma è solo un esempio; lo stesso calcolo si può fare su qualsiasi superficie, purché sia assegnata come luogo degli zeri di una funzione.