Norma duale
Dato uno spazio vettoriale $E$, consideriamo il suo spazio duale $E^{\star}$, cioè lo spazio dei funzionali lineari continui su $E$. Si definisce norma duale in $E^{\star}$ la seguente funzione:
\[ ||f||_{E^{\star}}= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} |f(x)|= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} f(x)
\]
Mi viene un dubbio, probabilmente stupido: come facciamo ad essere certi che esista $ \text{sup } f(x)$? Per definizione di norma deve essere un numero reale diverso da infinito giusto?
\[ ||f||_{E^{\star}}= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} |f(x)|= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} f(x)
\]
Mi viene un dubbio, probabilmente stupido: come facciamo ad essere certi che esista $ \text{sup } f(x)$? Per definizione di norma deve essere un numero reale diverso da infinito giusto?
Risposte
Se (e solo se) $E$ è di dimensione finita la palla unitaria è compatta. Immagino quindi ti serva saperlo quando $E$ è di dimensione infinita.
\(f\) è un funzionale lineare e continuo o, equivalentemente, limitato.
Se ho ben capito la tua domanda le risposte date mi sembra non c'entrino: tu ti stai chiedendo, se leggo bene, chi ti garantisce che esista il sup di $f$. Ebbene, tale oggetto esiste sempre, quando ha senso ovviamente ($f$ a valori reali e' sufficiente).
Sì, in effetti il mio dubbio era sull'esistenza del sup di $f$ ovvero sulla limitatezza di $f(x)$. A questo punto ho risolto. Grazie a tutti.
@Luca: è vero che il sup esiste sempre, tuttavia mi sembrava che la domanda fosse implicitamente sull'esistenza di un sup finito.
Si, c'è infatti un fraintendimento mi sa, il sup esiste sempre ma potrebbe fare $+\infty$.
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