Monotonia e misurabilità

[melli13]

Sia $F(x)$ la funzione di Cantor-Vitali (lo scalino del diavolo)
Sia $f(x):=\text{inf}{a in [0,1]: F(a)=x}$, $x in [0,1]$ (quindi la sua inversa diciamo)

Ho letto: "f è montona e quindi misurabile". Vorrei capire il perchè di questa affermazione. Quale teorema mi collega le funzioni monotone con la misurabilità? f è discontinua quindi come faccio a dire che è misurabile?
In questo caso forse ho qualche idea per giustificare l'affermazione, ma nel caso generico non mi pare. Confermate?

La mia dimostrazione è la seguente:
${x: f(x)>a} sub C$, dove C insieme di Cantor che ha misura nulla $=> |{x: f(x)>a}|=0$ per monotonia $=>f$ misurabile per definizione

[dissonance]

Secondo me è un fatto più fondamentale. Siccome \(f\) è monotona, \(\{ f(x)>a\} \) è un intervallo e quindi è misurabile.

[melli13]

Mmmm giusto, visto che f è definita in tutto il dominio.
Ma se, ad esempio, prendessi una f definita solo sull'insieme non misurabile di Vitali V, monotona positiva magari, in quel caso ${f>=0}=V$ e quindi non è misurabile. O sto dicendo un po' di cavolate? Non è possibile costruire una funzione così?
Grazie mille @dissonance

[dissonance]

Se una funzione è definita su un insieme non misurabile ha poco senso chiedersi se essa sia misurabile. Non credo sia il caso di riflettere troppo su questo punto.

[melli13]

Questo è pure vero! Ok grazie infinite @dissonance