Modulo quadro di un segnale
Salve ragazzi, non riesco a procedere con un esercizio di segnali. Devo calcolare l'energia di Y(f) ma non so come procedere con il modulo al quadrato del segnale.
Il segnale di cui devo calcolare l'energia è : $ Y(f) = rect (f/B) + rect(f/B) e^(j pi f T) $
Per calcolare l'energia del segnale Y(f) utilizzo la formula : $ epsilon = int_(-infty)^(infty) |rect (f/B) + rect (f/B) e^(j pi f T)|^2 df $
adesso non riesco a procedere con l'integrale... ho provato a scrivere l'esponenziale $ e^ (j pi f T) $ come $ cos( pi f T) + j sen(pi f T) $
ma non so se è corretto... qualcuno mi aiuti
Il segnale di cui devo calcolare l'energia è : $ Y(f) = rect (f/B) + rect(f/B) e^(j pi f T) $
Per calcolare l'energia del segnale Y(f) utilizzo la formula : $ epsilon = int_(-infty)^(infty) |rect (f/B) + rect (f/B) e^(j pi f T)|^2 df $
adesso non riesco a procedere con l'integrale... ho provato a scrivere l'esponenziale $ e^ (j pi f T) $ come $ cos( pi f T) + j sen(pi f T) $
ma non so se è corretto... qualcuno mi aiuti
Risposte
Hai provato ad usare le proprietà delle serie di Fourier?
No, quale mi consigli?
Scusa, volevo scrivere trasformata di Fourier…
Ad ogni modo, mi riferivo al teorema di Plancherel: con la giusta normalizzazione, il modulo quadro del segnale è uguale al modulo quadro della sua trasformata di Fourier.
Se invece la TdF non è normalizzata come si deve, spunta fuori una costante di proporzionalità che devi calcolare in base alla definizione di trasformata che usi.
Altrimenti, devi fare il conto esplicito.
L’integrale si riscrive:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{rect}^2 \left(\frac{f}{B}\right)\ \left| 1 + e^{j \pi f T}\right|^2\ \text{d} f
\]
e poi fai un po’ di calcoli. Forse la presenza del quadrato del modulo ti facilita, ma ora non so cosa può venirne fuori (se un integrale da calcolare con tecniche reali o complesse -tipo residui o cose simili-).
Prova.
Ad ogni modo, mi riferivo al teorema di Plancherel: con la giusta normalizzazione, il modulo quadro del segnale è uguale al modulo quadro della sua trasformata di Fourier.
Se invece la TdF non è normalizzata come si deve, spunta fuori una costante di proporzionalità che devi calcolare in base alla definizione di trasformata che usi.
Altrimenti, devi fare il conto esplicito.
L’integrale si riscrive:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{rect}^2 \left(\frac{f}{B}\right)\ \left| 1 + e^{j \pi f T}\right|^2\ \text{d} f
\]
e poi fai un po’ di calcoli. Forse la presenza del quadrato del modulo ti facilita, ma ora non so cosa può venirne fuori (se un integrale da calcolare con tecniche reali o complesse -tipo residui o cose simili-).
Prova.
Ciao Pietro9,
Una volta scritto l'integrale come suggerito da gugo82, potrebbe farti comodo osservare che si ha:
$| 1 + e^{j \pi f T}|^2 = 2 + 2 cos(\pi f T) $
Una volta scritto l'integrale come suggerito da gugo82, potrebbe farti comodo osservare che si ha:
$| 1 + e^{j \pi f T}|^2 = 2 + 2 cos(\pi f T) $
Dopo i 2 suggerimenti metti tutto sotto l'integrale in questa maniera :
\(2\int_{-\frac{B}{2}}^{+\frac{B}{2}}1\cdot df+2\int_{-\frac{B}{2}}^{+\frac{B}{2}}cos\left ( \pi fT \right )df=2B+\frac{4}{\pi T}sin\left ( \frac{\pi }{2} BT\right )\)
\(2\int_{-\frac{B}{2}}^{+\frac{B}{2}}1\cdot df+2\int_{-\frac{B}{2}}^{+\frac{B}{2}}cos\left ( \pi fT \right )df=2B+\frac{4}{\pi T}sin\left ( \frac{\pi }{2} BT\right )\)
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