Misurabilità e integrabilità secondo Lebesgue

[Lullaby931]

Ciao a tutti, mi servirebbe un aiuto su questo esercizio:
Sia $f: \mathbb{R} to \mathbb{R} $ una funzione integrabile su $\mathbb{R} $ rispetto alla misura unidimensionale
$\mu$ di Lebesgue. Posto $A_n = \{x ∈ \mathbb{R} : n − 1 \leq \abs{f(x)} < n \}$ per $n \in \mathbb{N}$,
a) controllare la misurabilità degli insiemi $A_n$ e provare che $\lim_{n\to\infty} \mu (A_n)=0$;

Dato che la funzione f è integrabile lo è anche il suo modulo, e inoltre entrambe sono misurabili; gli $A_n$ sono parti di controimmagini di f per ogni intervallo della forma $[n-1,n]$ nel dominio di f, quindi sono anch'essi misurabili, per la misirabilità di f.
Per il limite pensavo di utilizzare il Teorema della contnuità della misura, ma non riesco a dimostrare che $\{A_n\}$ sia crescente o decrescente; quindi credo di essere sulla strada sbagliata, ma non ho idee su come procedere.
Potreste aiutarmi? Grazie!

[billyballo2123]

Io direi che puoi fare così:
essendo $|f|$ integrabile su $\mathbb{R}$, allora
\[
\int_\mathbb{R}|f|d\mu < +\infty,
\]
quindi
\[
\int_\mathbb{R}|f|d\mu=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_\mathbb{A_n}|f|d\mu < +\infty.
\]
Essendo la serie convergente, puoi dedurre che
\[
\int_\mathbb{A_n}|f|d\mu \to 0
\]
per $n\to +\infty$.
A questo punto è facile concludere usando l'arbitrarietà di $f$...