Misurabilità e integrabilità di funzione
Sono abbastanza nuovo nel forum e chiedo scusa per eventuali errori commessi.
Il quesito che propongo è tratto da un esame di Teoria della Misura ed è il segunte:
Sia $f(x,y) = e\^{-abs(xy)}sin(1/x)sin(1/y)$. Stabilire se è integrabile su $RR^2$ rispetto alla misura di Lebesgue e, in caso affermativo, se ne calcoli l'integrale.
Poichè vorrei svolgere l'esercizio con ogni motivazione teorica, per fare le cose fatte bene vorrei prima di tutto dimostrare che f è misurabile, e successivamente dimostrare l'integrale di $abs{f} < infty$.
è ben accetto ogni tipo di suggerimento in quanto ho problemi a partire dalla misurabilità (f non è continua su $RR^2$ )
Il quesito che propongo è tratto da un esame di Teoria della Misura ed è il segunte:
Sia $f(x,y) = e\^{-abs(xy)}sin(1/x)sin(1/y)$. Stabilire se è integrabile su $RR^2$ rispetto alla misura di Lebesgue e, in caso affermativo, se ne calcoli l'integrale.
Poichè vorrei svolgere l'esercizio con ogni motivazione teorica, per fare le cose fatte bene vorrei prima di tutto dimostrare che f è misurabile, e successivamente dimostrare l'integrale di $abs{f} < infty$.
è ben accetto ogni tipo di suggerimento in quanto ho problemi a partire dalla misurabilità (f non è continua su $RR^2$ )
Risposte
Ma $f$ è continua q.o. rispetto alla misura di Lebesgue, quindi…
Per la finitezza dell’integrale del modulo, osserva che intorno agli assi la $f$ è limitata e intorno a $oo$ essa decade come un esponenziale.
Il calcolo dell’integrale non credo sia immediato.
Per la finitezza dell’integrale del modulo, osserva che intorno agli assi la $f$ è limitata e intorno a $oo$ essa decade come un esponenziale.
Il calcolo dell’integrale non credo sia immediato.
Per prima cosa ti ringrazio per la risposta.
Nell'origine sono concorde sul fatto che la funzione non sia continua, inoltre poichè un punto isolato ${(0,0)}$ ha misura nulla secondo Lebesgue allora è trascurabile ai fini della misurabilità.
Quello che mi manca come dimostrare che gli assi abbiano misura nulla, perchè ad esempio, su tutto l'asse y, sen(1/x) non esiste (idem per sen(1/y) sull'asse x).
Nell'origine sono concorde sul fatto che la funzione non sia continua, inoltre poichè un punto isolato ${(0,0)}$ ha misura nulla secondo Lebesgue allora è trascurabile ai fini della misurabilità.
Quello che mi manca come dimostrare che gli assi abbiano misura nulla, perchè ad esempio, su tutto l'asse y, sen(1/x) non esiste (idem per sen(1/y) sull'asse x).
Credo di aver trovato una soluzione all'integrabilità (supposta la misurabilità)
Chiedo di aiutarmi a correggere eventuali errori di forma (la cosa a cui sono maggiormente interessato)
Poichè $f \notin L^+ := {f:R^2 \rightarrow [0,+\infty] }$ non posso usare il teorema di Fubini-Tonelli.
Osservo però che: $$\int_{R^2} |f(x,y)|d\mu \leq \int_{R^2} e^{-|xy|}d\mu $$
E poichè $e^{-|xy|}$ è integrabile su $R^2$ posso affermare che $f$ è integrabile secondo Lebesgue su $R^2$, ossia $\int_{R^2} f(x,y)d\mu$ esiste, finito o infinito che sia.
A questo punto, con il cambio di variabili $x = 1/t , y = 1/w$ di Jacobiano $1/(t^2w^2)$ ottengo il seguente integrale: $$\int_{R^2} 1/(t^2w^2)e^{-|1/(tw)|}sen(t)sen(w)dtdw = \Big[\int_{-\infty}^{+\infty} 1/(t^2)e^{-1/|t|}sen(t)dt\Big]^2 = 0^2 = 0$$
Chiedo di aiutarmi a correggere eventuali errori di forma (la cosa a cui sono maggiormente interessato)
Poichè $f \notin L^+ := {f:R^2 \rightarrow [0,+\infty] }$ non posso usare il teorema di Fubini-Tonelli.
Osservo però che: $$\int_{R^2} |f(x,y)|d\mu \leq \int_{R^2} e^{-|xy|}d\mu $$
E poichè $e^{-|xy|}$ è integrabile su $R^2$ posso affermare che $f$ è integrabile secondo Lebesgue su $R^2$, ossia $\int_{R^2} f(x,y)d\mu$ esiste, finito o infinito che sia.
A questo punto, con il cambio di variabili $x = 1/t , y = 1/w$ di Jacobiano $1/(t^2w^2)$ ottengo il seguente integrale: $$\int_{R^2} 1/(t^2w^2)e^{-|1/(tw)|}sen(t)sen(w)dtdw = \Big[\int_{-\infty}^{+\infty} 1/(t^2)e^{-1/|t|}sen(t)dt\Big]^2 = 0^2 = 0$$
"Gabrielek":
ossia $\int_{R^2} f(x,y)d\mu$ esiste, finito o infinito che sia.
Tu parli troppo e ti freghi da solo!
Può essere che quell'integrale è infinito? No, non può essere. Hai già detto che \(f\) è integrabile, basta così, fermati. Questo remark aggiuntivo nel quote è servito solo ad introdurre un errore.
Giusto, grazie per l'osservazione.
Per la misurabilità qualcuno ha idee?
Per la misurabilità qualcuno ha idee?
Per la misurabilità ti ha già risposto Gugo. Qual è il problema? Dimostrare che gli assi hanno misura nulla? Una retta di \(\mathbb R^2\) ha misura nulla rispetto alla misura di Lebesgue nel piano, questo è un esercizio di base.
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