Misurabilità di una funzione con parte intera.
Buonasera a tutti, avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio in cui mi viene chiesto di dimostrare la misurabilità di una funzione.
Dimostrare la misurabilità della seguente funzione
$f(x)=\frac{1}{[x^2+1]}$
dove $$ è la funzione parte intera.
Sinceramente non vorrei usare la definizione perché mi annoio a fare calcoli :p. Avevo intenzione di usare il seguente ragionamento.
1. La funzione $h(x)=x^2+1$ è misurabile perché è una funzione continua;
2. Dimostro che $k(x)=[x]$ è misurabile con la definizione;
3. Ricordo che il reciproco di funzioni misurabili è misurabile, per cui $1/(k(x))$ è misurabile;
4. Dimostro che la composizione di funzioni misurabili è misurabile e concludo che $f(x)=1/(k(h(x)))$ è una funzione misurabile.
Potrebbe andare?
Dimostrare la misurabilità della seguente funzione
$f(x)=\frac{1}{[x^2+1]}$
dove $
Sinceramente non vorrei usare la definizione perché mi annoio a fare calcoli :p. Avevo intenzione di usare il seguente ragionamento.
1. La funzione $h(x)=x^2+1$ è misurabile perché è una funzione continua;
2. Dimostro che $k(x)=[x]$ è misurabile con la definizione;
3. Ricordo che il reciproco di funzioni misurabili è misurabile, per cui $1/(k(x))$ è misurabile;
4. Dimostro che la composizione di funzioni misurabili è misurabile e concludo che $f(x)=1/(k(h(x)))$ è una funzione misurabile.
Potrebbe andare?
Risposte
Si è corretto il procedimento
In genere combinazione lineare, composizione e prodotto di funzioni misurabili è misurabile
In genere combinazione lineare, composizione e prodotto di funzioni misurabili è misurabile
Perfetto. Grazie mille anto_zoolander.
Un momento. Com'è questa storia che la composizione di funzioni misurabili è misurabile? Sicuro sicuro?
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=105161
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=105161
Ciao Peppe
Sicuro sicuro
Basta considerare che $fcircg^(leftarrow)(A)=g^(leftarrow)(f^(leftarrow)(A))$
Sicuro sicuro
Basta considerare che $fcircg^(leftarrow)(A)=g^(leftarrow)(f^(leftarrow)(A))$
Si, ma guarda nel link, c'è un problema di nomenclature. Tu stai parlando di misurabilità "del probabilista"; più spesso si parla di misurabilità nel senso dell'analisi: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 46#p811346
"Mathita":
Sinceramente non vorrei usare la definizione perché mi annoio a fare calcoli
L'obiettivo di questo esercizio è proprio quello di impratichirsi con la definizione di misurabilità e di sporcarsi un po' le mani. Quando ero studente pure io tendevo a ragionare come te, ma poi me ne sono pentito. Io raccomando risolvere questo esercizio usando la definizione. Ricordati che una funzione \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è misurabile secondo Lebesgue quando tutti gli insiemi \(\{x\in\mathbb R\ :\ f(x)\le \lambda \}\) per \(\lambda\in\mathbb R\) sono misurabili.
Ho capito cosa intendi; ha dato per assodato che il dominio fosse \( (\mathbb{R}, \mathcal{B} )\)
"dissonance":
[quote="Mathita"]
Sinceramente non vorrei usare la definizione perché mi annoio a fare calcoli
L'obiettivo di questo esercizio è proprio quello di impratichirsi con la definizione di misurabilità e di sporcarsi un po' le mani. Quando ero studente pure io tendevo a ragionare come te, ma poi me ne sono pentito. Io raccomando risolvere questo esercizio usando la definizione. Ricordati che una funzione \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è misurabile secondo Lebesgue quando tutti gli insiemi \(\{x\in\mathbb R\ :\ f(x)\le \lambda \}\) per \(\lambda\in\mathbb R\) sono misurabili.[/quote]
Innanzitutto, ti ringrazio per essere intervenuto: il link che hai inserito nella discussione è stato illuminante. Avevo completamente rimosso questo aspetto teorico
.In ogni caso propongo una variante. Se dimostro che $k^{-1}(a,+\infty)\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ [$\sigma$-Algebra dei boreliani], sfruttando la continuità di $h(x)=x^2+1$ posso concludere che $k(h(x))=[x^2+1]$ è misurabile, giusto?
(PS: ho fatto i calcoli e chiaramente la funzione è misurabile: la controimmagine del generatore $(a,+\infty)$ è un intervallo e in quanto tale misurabile, per ogni $a\in\mathbb{R}$.)
Riporto le definizioni, così cerco di non fare troppa confusione.
Siano $X$ un insieme non vuoto e $\mathcal{M}$ la $\sigma$-algebra degli insiemi misurabili secondo Lebesgue. Indichiamo con $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ la $\sigma$-algebra dei boreliani reali.
Una funzione $f:X\to\mathbb{R}$ è (Lebesgue)-misurabile se e solo se per ogni boreliano $E\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ si ha che $f^{-1}(E)\in\mathcal{M}$. (A parole, la controimmagine di ogni boreliano dev'essere Lebesgue misurabile.)
Tento di dimostrare la seguente congettura.
Se $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è una funzione tale che $g^{-1}(a,+\infty)$ è un boreliano per ogni $a$ e se $f:X\to\mathbb{R}$ è una funzione misurabile, allora: $g\circ f:X\to\mathbb{R}$ è misurabile.
Dimostrazione.
Vi dico la verità: la dimostrazione mi sembra tanto ovvia che ho paura che sia sbagliata.
Devo dimostrare che $(g\circ f)^{-1}(a,+\infty)\in\mathcal{M}$ per ogni $a\in\mathbb{R}$.
In base alla definizione di composizione di funzioni, per ogni $a\in\mathbb{R}$:
$(g\circ f)^{-1}(a,+\infty)=f^{-1}(g^{-1}(a,+\infty))$
Per ipotesi $g^{-1}(a,+\infty)\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ e per definizione di funzione misurabile:
$f^{-1}(g^{-1}(a,+\infty))\in\mathcal{M} \implies g\circ f \ \mbox{misurabile.}$
Se questo teorema regge, posso applicarlo alla risoluzione dell'esercizio e concludere senza troppi sforzi. Lasciate perdere l'esercizio originale: è possibile fare i calcoli esplicitamente, ma se l'argomento della funzione parte intera fosse una funzione continua più complicata, capite che risolvere le disequazioni è pressoché impossibile.
Siano $X$ un insieme non vuoto e $\mathcal{M}$ la $\sigma$-algebra degli insiemi misurabili secondo Lebesgue. Indichiamo con $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ la $\sigma$-algebra dei boreliani reali.
Una funzione $f:X\to\mathbb{R}$ è (Lebesgue)-misurabile se e solo se per ogni boreliano $E\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ si ha che $f^{-1}(E)\in\mathcal{M}$. (A parole, la controimmagine di ogni boreliano dev'essere Lebesgue misurabile.)
Tento di dimostrare la seguente congettura.
Se $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è una funzione tale che $g^{-1}(a,+\infty)$ è un boreliano per ogni $a$ e se $f:X\to\mathbb{R}$ è una funzione misurabile, allora: $g\circ f:X\to\mathbb{R}$ è misurabile.
Dimostrazione.
Vi dico la verità: la dimostrazione mi sembra tanto ovvia che ho paura che sia sbagliata.
Devo dimostrare che $(g\circ f)^{-1}(a,+\infty)\in\mathcal{M}$ per ogni $a\in\mathbb{R}$.
In base alla definizione di composizione di funzioni, per ogni $a\in\mathbb{R}$:
$(g\circ f)^{-1}(a,+\infty)=f^{-1}(g^{-1}(a,+\infty))$
Per ipotesi $g^{-1}(a,+\infty)\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ e per definizione di funzione misurabile:
$f^{-1}(g^{-1}(a,+\infty))\in\mathcal{M} \implies g\circ f \ \mbox{misurabile.}$
Se questo teorema regge, posso applicarlo alla risoluzione dell'esercizio e concludere senza troppi sforzi. Lasciate perdere l'esercizio originale: è possibile fare i calcoli esplicitamente, ma se l'argomento della funzione parte intera fosse una funzione continua più complicata, capite che risolvere le disequazioni è pressoché impossibile.
Un piccolo uppettino.
si è corretto e questa cosa è vera in generale(se ho capito ciò che vuoi dimostrare)
se $(X,sigma_1)$, $(Y,sigma_2)$ e $(Z,sigma_3)$ sono spazi misurabili e $f:X->Y$ , $g:Y->Z$ sono funzioni rispettivamente $sigma_1 - sigma_2$ e $sigma_2 - sigma_3$ misurabili allora $gcircf:X->Y->Z$ è misurabile
proprio perché $gcircf^(leftarrow)(M)=f^(leftarrow)(g^(leftarrow)(M))$
se $(X,sigma_1)$, $(Y,sigma_2)$ e $(Z,sigma_3)$ sono spazi misurabili e $f:X->Y$ , $g:Y->Z$ sono funzioni rispettivamente $sigma_1 - sigma_2$ e $sigma_2 - sigma_3$ misurabili allora $gcircf:X->Y->Z$ è misurabile
proprio perché $gcircf^(leftarrow)(M)=f^(leftarrow)(g^(leftarrow)(M))$
Grazie mille
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