Misura positiva

[mauri54]

Scusate, ieri ho postato questo esercizio ma ho sbagliato alcune cose nel testo e allora l’ho riscritto e ripostato.

Ciao! Chi mi può dare due dritte con questo esercizio?

Indichiamo con $M$ la $σ$-algebra di Borel su $\mathbb{R}$ rispetto alla topologia cofinita (ossia alla topologia su $\mathbb{R}$ i cui elementi diversi dall’insieme vuoto sono tutti e soli i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ aventi complementare finito). Sia inoltre $f : \mathbb{R} → [0, +∞ [$ la funzione definita da:
\( f(x) =\begin{cases} 0 \ \text{ se } x\notin\mathbb{N} \\ x \ \text{ se } x\in\mathbb{N} \end{cases} \)

Trovare una misura positiva $\mu$ su $M$ che verifichi le due seguenti condizioni:

$\int f d\mu = 1$ e $\mu(E) > 0$ per ogni $E\in M$ tale che $E\cap\mathbb{N}\ne\emptyset$

[gugo82]

Beh, pensa un po' come potrebbe esser fatta $mu$.


P.S.: Per te $0 in NN$ o no?

[mauri54]

"gugo82":Beh, pensa un po' come potrebbe esser fatta $mu$.


P.S.: Per te $0 in NN$ o no?

Per quello che sono riuscito a capire è che $ \int_\mathbb{R}f d\mu=\int_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}}f d\mu+\int_\mathbb{N}f d\mu=0+\sum_{n\in \mathbb{N}}f(n)\mu({\n})=\sum_{n\in\mathbb{N}}n\mu({\n}) = 1$

quindi che $ n\mu({\n})<1\ \foralln $ ossia $ \mu({\n})<1/n\ \foralln $ ma non so se aiuta questo.