Misura indotta da una f. misurabile
Ciao!
ho sottomano questo esercizio:
$L^+$ è l'insieme delle funzioni $f:X->RR$ positive, misurabili e limitate su $X$
quello che mi interessa maggiormente è la correttezza sulla $sigma$ additività, le altre due sono ovvie(positività e misura nulla dell'insieme vuoto).
prendiamo ${A_i}_(i in NN) subset Sigma$ tali che $A_icapA_j=emptyset$ per ogni $i,j$ distinti
se $f$ è semplice e $f(x)=sum_(k=1)^(m)b_kchi_(B_k)(x)$ è la sua rappresentazione canonica, allora
essendo ${B_kcapA_i}_(i in NN)$ anch'essa una successione di insiemi misurabili a due a due disgiunti ed essendo $mu$ una misura su $Sigma$ quella cosa è uguale a
ora se invece $f$ è una funzione qualsiasi, sia ${phi_k}_(k in NN) subsetL^+$ di funzioni semplici tale che $phi_k ->f$ puntualmente e in maniera monotona, allora
[size=80]
dove ho usato il teorema della convergenza monotona nella seconda uguaglianza e il fatto che $phi_k$ fosse semplice nella terza.
Che osservazione bisogna fare per poter scambiare i due limiti?
ho sottomano questo esercizio:
siano $(X,Sigma,mu)$ uno spazio di misura e $f in L^+$, mostrare che $lambda(E)=int_(E)fdmu$ è una misura su $Sigma$
$L^+$ è l'insieme delle funzioni $f:X->RR$ positive, misurabili e limitate su $X$
quello che mi interessa maggiormente è la correttezza sulla $sigma$ additività, le altre due sono ovvie(positività e misura nulla dell'insieme vuoto).
prendiamo ${A_i}_(i in NN) subset Sigma$ tali che $A_icapA_j=emptyset$ per ogni $i,j$ distinti
se $f$ è semplice e $f(x)=sum_(k=1)^(m)b_kchi_(B_k)(x)$ è la sua rappresentazione canonica, allora
$int_(bigcup_(i=1)^(+infty)A_i) fdmu=sum_(k=1)^(m)b_kmu(B_kcapbigcup_(i=1)^(+infty)A_i)=sum_(k=1)^(m)b_kmu(bigcup_(i=1)^(+infty)(B_kcapA_i))$
essendo ${B_kcapA_i}_(i in NN)$ anch'essa una successione di insiemi misurabili a due a due disgiunti ed essendo $mu$ una misura su $Sigma$ quella cosa è uguale a
[size=90]$sum_(k=1)^(m)b_k[sum_(i=1)^(+infty)mu(B_kcapA_i)]=sum_(k=1)^(m)b_k[lim_(n->+infty)sum_(i=1)^(n)mu(B_kcapA_i)]=sum_(i=1)^(+infty)[sum_(k=1)^(m)b_kmu(B_kcapA_i)]=sum_(i=1)^(+infty)int_(A_i)fdmu$[/size]
ora se invece $f$ è una funzione qualsiasi, sia ${phi_k}_(k in NN) subsetL^+$ di funzioni semplici tale che $phi_k ->f$ puntualmente e in maniera monotona, allora
[size=80]
$int_(bigcup_(i=1)^(+infty)A_i) fdmu=int_(bigcup_(i=1)^(+infty)A_i) lim_(k->+infty)phi_kdmu=lim_(k->+infty)int_(bigcup_(i=1)^(+infty)A_i) phi_kdmu=lim_(k->+infty)sum_(i=1)^(+infty)int_(A_i)phi_k dmu=lim_(k->+infty)lim_(n->+infty)sum_(i=1)^(n)int_(A_i)phi_kdmu$
[/size]dove ho usato il teorema della convergenza monotona nella seconda uguaglianza e il fatto che $phi_k$ fosse semplice nella terza.
Che osservazione bisogna fare per poter scambiare i due limiti?
Risposte
Ciao anto!
[ot]Sia lode, non appare nemmeno un segnale/un integrale in campo complesso in questo post ![/ot]
Secondo me è più semplice osservare che, posto \( A := \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \), si ha
\[ \lambda(A_i) = \int_{X} f \chi_{A_i} d\mu \quad \quad , \quad \quad \lambda(A) = \int_{X} f \chi_{A} d\mu\]
e, notato che
\[ \chi_A (x) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \chi_{A_i}(x) \]
segue che
\[ \lambda(A) = \int_{X} f \chi_A d\mu= \int_{X} \sum_{i \in \mathbb{N}} f \chi_{A_i} d \mu = \sum_{i \in \mathbb{N}} \int_{X} f \chi_{A_i} d\mu = \sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda(A_i) \]
dove nella penultima uguaglianza si scambiano integrale e serie per "Beppo-Levi aggiustato".
Mi sembra che questa sia anche l'unica maniera per aggiustare l'ultima riga dei tuoi conti, però a questo punto mi sembrava giusto farti vedere che si poteva baypassare la parte con la funzione semplice.
Infine l'ipotesi che $f$ sia limitata mi pare inutile, credo vada bene anche $f: X \to [0, + \infty]$.
Puoi provare a mostrare (molto facile) che se \( \phi : X \to \mathbb{R} \) è misurabile allora si ha
\[ \int_{X} \phi d \lambda = \int_{X} \phi f d\mu \]
[ot]Sia lode, non appare nemmeno un segnale/un integrale in campo complesso in questo post ![/ot]
Secondo me è più semplice osservare che, posto \( A := \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \), si ha
\[ \lambda(A_i) = \int_{X} f \chi_{A_i} d\mu \quad \quad , \quad \quad \lambda(A) = \int_{X} f \chi_{A} d\mu\]
e, notato che
\[ \chi_A (x) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \chi_{A_i}(x) \]
segue che
\[ \lambda(A) = \int_{X} f \chi_A d\mu= \int_{X} \sum_{i \in \mathbb{N}} f \chi_{A_i} d \mu = \sum_{i \in \mathbb{N}} \int_{X} f \chi_{A_i} d\mu = \sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda(A_i) \]
dove nella penultima uguaglianza si scambiano integrale e serie per "Beppo-Levi aggiustato".
Mi sembra che questa sia anche l'unica maniera per aggiustare l'ultima riga dei tuoi conti, però a questo punto mi sembrava giusto farti vedere che si poteva baypassare la parte con la funzione semplice.
Infine l'ipotesi che $f$ sia limitata mi pare inutile, credo vada bene anche $f: X \to [0, + \infty]$.
Puoi provare a mostrare (molto facile) che se \( \phi : X \to \mathbb{R} \) è misurabile allora si ha
\[ \int_{X} \phi d \lambda = \int_{X} \phi f d\mu \]
Ciao Bremen!
[ot]che intendi?
[/ot]
in effetti hai ragione, è meglio in questo modo: il bello è che avevo fatto proprio prima il teorema di scambio limite/integrale
è proprio l'esercizio seguente: li ho presi entrambi dal Folland ora ci provo.
"Bremen000":
[ot]Sia lode, non appare nemmeno un segnale/un integrale in campo complesso in questo post ![/ot]
[ot]che intendi?
[/ot]in effetti hai ragione, è meglio in questo modo: il bello è che avevo fatto proprio prima il teorema di scambio limite/integrale
"Bremen000":
Puoi provare a mostrare
è proprio l'esercizio seguente: li ho presi entrambi dal Folland
ora ci provo.
"anto_zoolander":
[ot]che intendi?
[ot]Scorri i post di questa sezione...[/ot]
"anto_zoolander":
Le funzioni che assumono valore $+ \infty$ io le ho viste usare un po' in CdV: è comodo quando vuoi dire che qualche valore del dominio non è ammissibile. Anche in analisi convessa penso sia piuttosto comune. Ma non sono un esperto.
"anto_zoolander":
è proprio l'esercizio seguente: li ho presi entrambi dal Folland
Mai aperto. Come è? Eviti il Rudin?
"Bremen000":
[ot]Scorri i post di questa sezione...[/ot]
[ot]hai ragione in effetti
[/ot]"Bremen000":
Le funzioni che assumono valore +∞ io le ho viste usare un po' in CdV: è comodo quando vuoi dire che qualche valore del dominio non è ammissibile. Anche in analisi convessa penso sia piuttosto comune. Ma non sono un esperto.
Più in la magari estenderò il concetto, per adesso mi mantengo su quelle limitate
"Bremen000":
Mai aperto. Come è? Eviti il Rudin?
Da novizio mi sembra un bel libro. Sul Rudin non ho mai messo mano, com'è?
"anto_zoolander":
Da novizio mi sembra un bel libro. Sul Rudin non ho mai messo mano, com'è?
Ti apre la testa. In tutti i sensi. Io lo trovo meraviglioso, ma non è un libro dove trovi tutti i dettagli, è da leggere con la penna in mano e il foglio pronto a essere riempito con i dettagli delle dimostrazioni!
"Bremen000":
Puoi provare a mostrare (molto facile) che se \( \phi : X \to \mathbb{R} \) è misurabile allora si ha
\[ \int_{X} \phi d \lambda = \int_{X} \phi f d\mu \]
Sarà la febbre ma non mi viene molto:
Se $phi$ è semplice allora è ovvio visto che
$int_X phi dlambda=sum_(k=1)^(n)a_klambda(A_k)=sum_(k=1)^(n)a_k int_(A_k) fdmu=int_X (sum_(k=1)^(n)a_kchi_(A_k))fdmu=int_X(f*phi)dmu$
Se $g$ è una qualsiasi funzione misurabile allora considerando che se $phi$ è una funzione semplice che minora $g$
$phileqg => f*phileqf*g=> int_Xphidlambda=int_X(f*phi)dmuleqint_X(f*g)dmu$
Quindi $int_Xgdlambda=s u p_(0leqphileqg)int_Xphidlambdaleqint_X(f*g)dmu$
Al momento non mi vengono idee per $geq$
Te lo metto in spoiler ma prima di guardarlo riprova, forte del risultato sulle \( \phi \) semplici, con la convergenza monotona!
Che pollo, hai ragione:
Quindi
Ora noto che $phi_kleqg=> fphi_k leqfg $ e quindi converge a $fg$ in maniera monotona e applicando di nuovo la convergenza monotona si ha la tesi
se $g$ è una funzione misurabile prendiamo ${phi_k}$ successione di funzioni semplici tali che \( \phi_{k} \nearrow g \)
Quindi
$int_Xgdlambda=int_X lim_(k->+infty)phi_kdlambda=lim_(k->+infty)int_X(f*phi_k)dmu$
Ora noto che $phi_kleqg=> fphi_k leqfg $ e quindi converge a $fg$ in maniera monotona e applicando di nuovo la convergenza monotona si ha la tesi
Non hai finito lo sai vero?
Come no?
$lim_(k->+infty)int_X(f*phi_k)dmu=int_Xlim_(k->+infty)(f*phi_k)dmu=int_X(f*g)dmu$
"anto_zoolander":se $g$ è una funzione misurabile prendiamo ${phi_k}$ successione di funzioni semplici tali che \( \phi_{k} \nearrow g \)
Quando è che puoi farlo?
quando $g$ è misurabile esiste sempre, inoltre visto che per ora uso funzioni limitate, la convergenza delle $phi_k$ è anche uniforme. Se intendevi questo: sia la misurabilità che la limitatezza le ho specificate prima
La funzione deve essere non negativa per avere la convergenza monotona.
Me lo dimenticai
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