Misura di Lebesgue su $[0,1]\\QQ$

[Angus1956]

Mostrare che $L^1([0,1]\\QQ)=1$ dove $L^1$ è la misura di Lebesgue in $RR$.
Allora intanto credo che per correttezza si dovrebbe scrivere $L^1([0,1]\\(QQnn[0,1]))$ (correggetemi se sbaglio), detto ciò ho pensato di fare cosi: siccome $QQnn[0,1]$ è contenuto in $[0,1]$ posso usare la proprietà sottrattiva delle misure, ovvero $L^1([0,1]\\(QQnn[0,1]))=L^1[0 , 1]+L^1(QQnn[0,1])$, dove $L^1[0 , 1]=1-0=1$ e siccome $QQnn[0,1]$ è un sottoinsieme infinito di $QQ$ (che è numerabile) allora $QQnn[0,1]$ è numerabile e quindi si ha che $L^1(QQnn[0,1])=0$ poichè ogni misura vale $0$ su qualunque insieme numerabile. Perciò ottengo la tesi $L^1([0,1]\\(QQnn[0,1]))=1$. Può andare bene?

[otta96]

"andreadel1988":Allora intanto credo che per correttezza si dovrebbe scrivere $L^1([0,1]\\(QQnn[0,1]))$ (correggetemi se sbaglio),

No, va bene così.

$L^1([0,1]\\(QQnn[0,1]))=L^1[0 , 1]+L^1(QQnn[0,1])$

Questa relazione è sbagliata ma se la correggi va tutto bene.

[dissonance]

"andreadel1988":Mostrare che $L^1([0,1]\\QQ)=1$ dove $L^1$ è la misura di Lebesgue in $RR$.
Allora intanto credo che per correttezza si dovrebbe scrivere $L^1([0,1]\\(QQnn[0,1]))$ (correggetemi se sbaglio)

Dipende da come definisci $A\setminus B$. Se richedi che $B$ sia un sottoinsieme di $A$ allora si, hai ragione. Vedo che in effetti dopo usi che $L^1(A\setminus B)=L^1(A)\setminus L^1(B)$, che ovviamente vale solo se $B\subset A$. Ma in genere non si fa la richiesta che $B\subset A$.

[Angus1956]

"dissonance":
Dipende da come definisci $A\setminus B$. Se richedi che $B$ sia un sottoinsieme di $A$ allora si, hai ragione. Vedo che in effetti dopo usi che $L^1(A\setminus B)=L^1(A)\setminus L^1(B)$, che ovviamente vale solo se $B\subset A$. Ma in genere non si fa la richiesta che $B\subset A$.

Intendo proprio come hai detto tu perciò ho usato quella relazione. In teoria il mio professore per $ [0,1]\\QQ$ intende i numeri irrazionali nell'intervallo $[0,1]$, perciò ho detto che forse era meglio scrivere $[0,1]\\(QQnn[0,1])$

[gugo82]

"andreadel1988":In teoria il mio professore per $ [0,1]\\QQ$ intende i numeri irrazionali nell'intervallo $[0,1]$, perciò ho detto che forse era meglio scrivere $[0,1]\\(QQnn[0,1])$

Com'è definita la differenza tra insiemi?

[ViciousGoblin]

Se

"andreadel1988":
In teoria il mio professore per $ [0,1]\\QQ$ intende i numeri irrazionali nell'intervallo $[0,1]$

perché preferiresti scrivere $[0,1]\\(QQnn[0,1])$? (poi cosa vuol dire"in teoria"?)