Misteri sulla genesi della trasformata di Laplace
Salve a tutti,
sto rimettendo mano a molti concetti di Analisi Superiore cercando di dar loro un filo logico in ottica astratta.
Ho passato in rassegna la trasformata di Fourier e il modo con cui viene poi "agganciata" alle conoscenza matematica accumulata sino ad oggi:
combinazione lineare nello spazio di Hilbert su base ortonormale infinita (sotto opportune condizioni).Ovvero ciascun "vettore" dello spazio viene espresso attraverso una combinazione lineare di "vettori" ortonormali di una base infinita .Spazio in cui è definita una norma indotta dal prodotto scalare etc etc....
Questo mette appunto ordine al concetto di trasformata di Fourier.
Quello che non riesco a spiegarmi nè tantomeno a capire è quale sia la genesi che mette ordine alla trasformata di Laplace, vale a dire da cosa Laplace sia partito per elaborare la sua teoria.
Detto brutalmente, non è che una mattina il buon Laplace svegliandosi ha deciso di utilizzare un qualcosa (operatore) con il quale partendo da un insieme si giunge ad un altro molto più semplice da maneggiare.
Da qualche parte ci sarà stato uno start che intuitivamente possa condurre a pensare che "trasformando" un dominio, otteniamo dal suo "mapping" qualcosa di operativamente meno complesso.
Il bello è che si parte esclusivamente dalla definizione di trasformata,stop.
Non ne ho ancora visionato alcuno che si addentra sul come si arriva a quella definizione.
Un mistero
Qualcuno si è mai posto il quesito?Questo perchè altrimenti nella trattazione di Laplace...sembra non si vada per concetti e genesi degli stessi (l'alfabeto, i mattoni che costruiscono la parola) ma solo per nozioni.
In buona sostanza si trasmette "la parola" già bella che costruita!
Un saluto
A.
sto rimettendo mano a molti concetti di Analisi Superiore cercando di dar loro un filo logico in ottica astratta.
Ho passato in rassegna la trasformata di Fourier e il modo con cui viene poi "agganciata" alle conoscenza matematica accumulata sino ad oggi:
combinazione lineare nello spazio di Hilbert su base ortonormale infinita (sotto opportune condizioni).Ovvero ciascun "vettore" dello spazio viene espresso attraverso una combinazione lineare di "vettori" ortonormali di una base infinita .Spazio in cui è definita una norma indotta dal prodotto scalare etc etc....
Questo mette appunto ordine al concetto di trasformata di Fourier.
Quello che non riesco a spiegarmi nè tantomeno a capire è quale sia la genesi che mette ordine alla trasformata di Laplace, vale a dire da cosa Laplace sia partito per elaborare la sua teoria.
Detto brutalmente, non è che una mattina il buon Laplace svegliandosi ha deciso di utilizzare un qualcosa (operatore) con il quale partendo da un insieme si giunge ad un altro molto più semplice da maneggiare.
Da qualche parte ci sarà stato uno start che intuitivamente possa condurre a pensare che "trasformando" un dominio, otteniamo dal suo "mapping" qualcosa di operativamente meno complesso.
Il bello è che si parte esclusivamente dalla definizione di trasformata,stop.
Non ne ho ancora visionato alcuno che si addentra sul come si arriva a quella definizione.
Un mistero
Qualcuno si è mai posto il quesito?Questo perchè altrimenti nella trattazione di Laplace...sembra non si vada per concetti e genesi degli stessi (l'alfabeto, i mattoni che costruiscono la parola) ma solo per nozioni.
In buona sostanza si trasmette "la parola" già bella che costruita!
Un saluto
A.
Risposte
Questo è il bello ed il brutto delle teorie formalizzate, che nascondono sulla genesi tanto quanto rivelano sulle proprietà degli oggetti dei quali trattano.
Detto ciò, a quanto ne so, studi su integrali simili alla L-trasformata si trovano già in Eulero e Lagrange, in connessione con problemi di ODE ed integrazione di densità di probabilità. Negli scritti di Laplace sulla probabilità si trova quello che (generalmente) è noto come “metodo della funzione generatrice”, ossia una sorta di Z-trasformata, che è la versione discreta della L-trasformata continua che si usa in ingegneria; una sorta di L-trasformata (ma definita diversamente) viene usata da Laplace per risolvere PDE.
La L-trasformata continua è stata studiata da Abel (1820 circa) e poi da Heaviside, Lerch ed altri ad inizio 1900.
Detto ciò, a quanto ne so, studi su integrali simili alla L-trasformata si trovano già in Eulero e Lagrange, in connessione con problemi di ODE ed integrazione di densità di probabilità. Negli scritti di Laplace sulla probabilità si trova quello che (generalmente) è noto come “metodo della funzione generatrice”, ossia una sorta di Z-trasformata, che è la versione discreta della L-trasformata continua che si usa in ingegneria; una sorta di L-trasformata (ma definita diversamente) viene usata da Laplace per risolvere PDE.
La L-trasformata continua è stata studiata da Abel (1820 circa) e poi da Heaviside, Lerch ed altri ad inizio 1900.
Ciao Gugo,
io la vedo in modo intuitivo pressapoco così.
Abbiamo due "vettori" in spazi/o di Hilbert.Se osserviamo il prodotto di questi elementi,
a ciascun valore della variabile reale, si fa corrispondere un valore nel campo complesso.
Andando ad astrarre, dopo aver definito il prodotto scalare tra gli elementi nello spazio, fedeli al concetto espresso da quest'ultimo, è come se avessimo la proiezione di un "vettore" sull'altro.Il tutto sotto opportune condizioni che rendano valida la definizione data di prodotto scalare stesso.
Che ne dici?E' da "eretico" vederla così?
Credo sia proprio questa la base della teoria delle trasformazioni o meglio la forma di astrazione delle stesse dove appunto di cerca di "trasformare" un dominio in un altro che semplifichi le cose.
Mi sbaglio?
Un saluto ed un grazie
A.
io la vedo in modo intuitivo pressapoco così.
Abbiamo due "vettori" in spazi/o di Hilbert.Se osserviamo il prodotto di questi elementi,
a ciascun valore della variabile reale, si fa corrispondere un valore nel campo complesso.
Andando ad astrarre, dopo aver definito il prodotto scalare tra gli elementi nello spazio, fedeli al concetto espresso da quest'ultimo, è come se avessimo la proiezione di un "vettore" sull'altro.Il tutto sotto opportune condizioni che rendano valida la definizione data di prodotto scalare stesso.
Che ne dici?E' da "eretico" vederla così?
Credo sia proprio questa la base della teoria delle trasformazioni o meglio la forma di astrazione delle stesse dove appunto di cerca di "trasformare" un dominio in un altro che semplifichi le cose.
Mi sbaglio?
Un saluto ed un grazie
A.
Neanche Hilbert sapeva cosa fosse uno spazio di Hilbert, figurati se poteva mai saperlo Laplace (o Eulero, o Lagrange, o Heaviside, o Lerch, o Abel...).
Si!Ovviamente quello che ho scritto si riferisce ad una "astrazione" logica con i risultati della matematica moderna: ossia un prodotto scalare tra due elementi dello spazio, l'uno parametrizzato da un numero complesso e variabile reale,l'altro con variabile solo reale. Quello che si ottiene è un cambio di dominio.
Nello specifico si parla di "proiezione" di un "vettore" sull'altro.
Se il parametro (numero complesso) si riduce alla sola parte immaginaria ecco che si ha la proiezione del mio vettore sull'asse immaginario (Trasformata di Fourier).Secondo te...è da eretico vederla così?
Da precisare che il TUTTO vale sotto opportune condizioni a supporto della definizione di prodotto scalare che si è data prima di iniziare il ragionamento!
Un saluto e...buon ferragosto!
A.
Nello specifico si parla di "proiezione" di un "vettore" sull'altro.
Se il parametro (numero complesso) si riduce alla sola parte immaginaria ecco che si ha la proiezione del mio vettore sull'asse immaginario (Trasformata di Fourier).Secondo te...è da eretico vederla così?
Da precisare che il TUTTO vale sotto opportune condizioni a supporto della definizione di prodotto scalare che si è data prima di iniziare il ragionamento!
Un saluto e...buon ferragosto!
A.
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