Minimizzare Una Superficie col Calcolo Delle Variazioni
Premessa:Non so se questa sia o meno la sezione giusta dove aprire questo argomento,se ho sbagliato sezione,vi chiedo scusa.
Salve,recentemente mi sono addentrato(grazie all'aiuto del forum) nel vasto campo del calcolo delle variazioni e come primo problema che decisi di affrontare scelsi quello di minimizzare una superficie,ma non ho capito come fare,nel senso non so qual'è il funzionale che devo minimizzare.Ci tengo a precisare che per superficie intendo qualunque superficie e non solo quelle di rotazione.
Se gentilmente qualcuno saprebbe spiegarmi cosa fare gliene sarei grato
Salve,recentemente mi sono addentrato(grazie all'aiuto del forum) nel vasto campo del calcolo delle variazioni e come primo problema che decisi di affrontare scelsi quello di minimizzare una superficie,ma non ho capito come fare,nel senso non so qual'è il funzionale che devo minimizzare.Ci tengo a precisare che per superficie intendo qualunque superficie e non solo quelle di rotazione.
Se gentilmente qualcuno saprebbe spiegarmi cosa fare gliene sarei grato
Risposte
Non è un problema elementare.
Nella versione "calcolo delle variazioni", si tratta di minimizzare un funzionale del tipo
\[
\int_\Omega \sqrt{1 + |\nabla u(x)|^2}\, dx
\]
per funzioni \(u \colon \Omega\to \mathbb{R}\) con dato al bordo assegnato, in un opportuno spazio funzionale.
Nella versione "calcolo delle variazioni", si tratta di minimizzare un funzionale del tipo
\[
\int_\Omega \sqrt{1 + |\nabla u(x)|^2}\, dx
\]
per funzioni \(u \colon \Omega\to \mathbb{R}\) con dato al bordo assegnato, in un opportuno spazio funzionale.
Grazie per avermi risposto,ma per le superfici non si usa un integrale doppio?
"mklplo":
Grazie per avermi risposto,ma per le superfici non si usa un integrale doppio?
Certo. Qui \(\Omega\) è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\) (o, più in generale, di \(\mathbb{R}^n\)), \(x = (x_1, x_2)\). L'integrale è inteso rispetto alla misura di Lebesgue in \(\mathbb{R}^2\).
Ti ringrazio nuovamente per la tua risposta,quindi se ho capito bene per minimizzare devo risolvere la seguente equazione di Eulero-Lagrange:
$ d/(du)(sqrt(1+||gradu(x)||^2))-d/dx_1(d/(du_(x_1))(sqrt(1+||gradu(x)||^2)))-d/dx_2(d/(du_(x_2))(sqrt(1+||gradu(x)||^2)))=0 $
giusto?
$ d/(du)(sqrt(1+||gradu(x)||^2))-d/dx_1(d/(du_(x_1))(sqrt(1+||gradu(x)||^2)))-d/dx_2(d/(du_(x_2))(sqrt(1+||gradu(x)||^2)))=0 $
giusto?
L'equazione che sopra ho scritto,sempre se fosse esatta,si potrebbe risolvere analiticamente?
La lagrangiana dipende solo dal gradiente, \(L(x, u, p) \equiv L(p) = \sqrt{1 + |p|^2}\), dove \(p = \nabla u\).
Prova a riscrivere le equazioni di Eulero-Lagrange.
Queste ultime, in generale, non sono esplicitamente risolubili.
(D'altra parte, quasi nessuna equazione, differenziale o no, è risolubile esplicitamente; questa è un'idea strampalata che viene messa in testa agli studenti soprattutto alle scuole superiori.)
Prova a riscrivere le equazioni di Eulero-Lagrange.
Queste ultime, in generale, non sono esplicitamente risolubili.
(D'altra parte, quasi nessuna equazione, differenziale o no, è risolubile esplicitamente; questa è un'idea strampalata che viene messa in testa agli studenti soprattutto alle scuole superiori.)
Ti ringrazio della risposta,ma se l'equazione non è risolvibile in modo esplicito come si arriva ad affermare che:
A parità di volume, le sfere sono i solidi che minimizzano l'area della superficie?
A parità di volume, le sfere sono i solidi che minimizzano l'area della superficie?
Si fa in un altro modo, dimostrando la cosiddetta disuguaglianza isoperimetrica. Te la enuncio nel piano, che e' piu' semplice a scriversi. Quello che si dimostra e' che per ogni (piu' o meno ogni, inutile dettagliare qui) figura piana di area $A$ e perimetro $2p$ si ha $4\pi A\le (2p)^2$. Se tu prendi il cerchio di raggio $R$ vedi che questa disuguaglianza diventa uguaglianza, quindi a parita' di perimetro il cerchio massimizza l'area, e a parita' di area racchiusa il cerchio minimizza il perimetro.
Grazie per la risposta,se non ti dispiace potresti,gentilmente,spiegarmi come si dimostra la disuguaglianza isoperimetrica
In dimensione 2 e per insiemi regolari si può usare la teoria di Fourier e la disuguaglianza di Wirtinger; in dimensione maggiore si possono dare diverse dimostrazioni, alcune geometriche altre basate sulla teoria della PDE.
Ad ogni buon conto, l'argomento è difficile ed esaurirlo qui sul forum è impossibile.
Ti rimando, ad esempio, a Dacorogna, Introduction to Calculus of Variations, cap. 6 (tutto).
Questo libro contiene anche un capitolo sulle superfici minime, cap. 5.
Ad ogni buon conto, l'argomento è difficile ed esaurirlo qui sul forum è impossibile.
Ti rimando, ad esempio, a Dacorogna, Introduction to Calculus of Variations, cap. 6 (tutto).
Questo libro contiene anche un capitolo sulle superfici minime, cap. 5.
Grazie per la tua risposta
Ne avevo letto un simpatico sketch di dimostrazione su questo articolo di Gardner (consigliatomi peraltro da qualcuno di questa discussione, anni fa, ma non saprei dire esattamente chi tra Rigel, Luca e Gugo )
http://www.ams.org/journals/bull/2002-3 ... 2-00941-2/
Questo puoi provare a consultarlo, ma non ti spaventare se non ci capisci nulla. Chiudilo e mettilo via; forse un giorno ti tornerà in mente. (Come diceva un mio professore all'università: "la matematica è come i peperoni: ritorna su").
Ci vuole molta maturità matematica per capire queste cose, anche i professionisti passano attraverso fasi così. (Questo lo so non perché io sia un professionista ma perché ho avuto la fortuna di vederne qualcuno all'opera).
http://www.ams.org/journals/bull/2002-3 ... 2-00941-2/
Questo puoi provare a consultarlo, ma non ti spaventare se non ci capisci nulla. Chiudilo e mettilo via; forse un giorno ti tornerà in mente. (Come diceva un mio professore all'università: "la matematica è come i peperoni: ritorna su").
Ci vuole molta maturità matematica per capire queste cose, anche i professionisti passano attraverso fasi così. (Questo lo so non perché io sia un professionista ma perché ho avuto la fortuna di vederne qualcuno all'opera).
Grazie
oppure qua
https://www.math.uni-tuebingen.de/ab/Ge ... uality.pdf
leggi la dimostrazione di Steiner, e' una di quelle dimostrazioni che vanno nel "Libro" (per chi sa cosa e'...)
https://www.math.uni-tuebingen.de/ab/Ge ... uality.pdf
leggi la dimostrazione di Steiner, e' una di quelle dimostrazioni che vanno nel "Libro" (per chi sa cosa e'...)
Grazie,dell'aiuto,credo di aver capito questo concetto
"Luca.Lussardi":
oppure qua
https://www.math.uni-tuebingen.de/ab/Ge ... uality.pdf
leggi la dimostrazione di Steiner, e' una di quelle dimostrazioni che vanno nel "Libro" (per chi sa cosa e'...)
Bello! Non la conoscevo. Sinceramente faccio fatica a capire l'obiezione di Weierstrass secondo cui la dimostrazione è incompleta. Il procedimento mostra che, data una lunghezza \(l>0\), la curva di lunghezza \(l\) e di area massima è la circonferenza di raggio \(\frac l{2\pi}\). Non è esattamente questa la disuguaglianza isoperimetrica?
La dimostrazione di Steiner regge solo se sai in partenza che una soluzione al problema isoperimetrico c'e', perche' e' argomentata per assurdo (se per assurdo la soluzione non fosse convessa ecc...). Quindi si', e' incompleta, la dis isoperimetrica ti da' esistenza, la dim di Steiner ti da' l'unicita'.
Capito, in effetti è sottile. Grazie della precisazione!
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