Metrica dello spazio $s$.

[Lèo114]

Ciao a tutti. Nello spazio $s$ delle successioni complesse (convergenti o meno) si definisce la metrica \[\displaystyle \mathrm{d}(x,y)=\sum_j^{\infty} \frac{1}{2^j}\frac{|\xi_j-\eta_j|}{1+|\xi_j-\eta_j|}. \] La dimostrazione della disuguaglianza triangolare funziona indipendentemente dal termine \(\displaystyle 1/2^j \), per cui mi chiedo: è vero che ad esso può essere scelto qualunque altro termine, a patto che la serie risulti convergente?

[otta96]

Si, al posto di $1/2^j$ puoi mettere $a_j$, con $a_j>0$ a patto che $\sum_{j=1}^(+\infty)a_j$ converga.
Secondo te andava bene anche se scrivevo $a_j>=0$? Perché?

[Lèo114]

Direi di no: altrimenti lo avresti scritto fin da subito

[otta96]

Eh, facile così devi dire anche perché

[Lèo114]

Mi viene in mente questo: se per un qualche $j$ il termine corrispondente della serie \(\displaystyle \mathrm{d}(x,y)=\mathrm{d}_1+\mathrm{d}_2+... \) risulta nulla, allora o \(\displaystyle a_j=0 \) oppure \(\displaystyle \xi_j=\eta_j \). Credo si ponga \(\displaystyle a_j>0 \) per evitare una situazione in cui si abbia \(\displaystyle\mathrm{d}_j=0 \) e distanza tra \(\displaystyle \xi_j \) e \(\displaystyle \eta_j \) arbitraria.

[otta96]

Non ho ben capito la tua risposta, è un po' confusa, ma mi sembra che tu abbia capito il concetto, che è: se $a_j=0$, allora non puoi distinguere due successioni che differiscono solo nella $j$-sima coordinata, cioè avrebbero distanza nulla pur non essendo uguali.