Metodo Perron: barriera superiore

[Peolo1]

Mi potreste aiutare a risolvere il seguente esercizio:
Let $U \subset \mathbb{R]^n$ be an open, bounded domain that satisfies an exterior sphere condition, that is for every point $\xi \in \partialU$ there exists a ball $B= B_R(y)$ satisfying $\bar{B] \cap \bar{U}=\{\xi\}$. Given such $\xi$ and $B$, show that the function $w(x)= R^{2-n} - |x-y|^{2-n},$ for $n \geq 3$ and $log(|x-y|/R)$ for $n=2$ is an upper barrier (for the Laplacian) at $\xi$. (that is show that $w>0$ in $\bar{U}-\{\xi\} , w(\xi)=0 $ and $w$ superharmonic in $U$

[Peolo1]

Qui sono i miei calcoli fino ad adesso (ma penso siano sbagliati) : vogliamo mostrare (i) $w>0$ in $\bar{U}-\{\xi\}$. Nel caso $n=2$ sappiamo che il logaritmo e' sempre $>0$ ist, ma nel caso $n \geq 3$ non capisco perche $R^{2-n}-|x-y|^{2-n}$ $>0$ . Ora vogliamo mostrare (ii) $w(x)=0$. Ma perche $w(\xi)=R^{2-n}-|\xi - y|^{2-n}$ e' uguale a zero? e nel caso $n=2$ non capisco perche' $log(|\xi -y|/R)=0$. Venendo ora a (iii) vogliamo mostrare $\Delta w \leq 0$ Quindi calcoliamo $\Delta w = \Delta (R^{2-n}) - \Delta |x-y|^{2-n}$ l'operatore di Laplace di una costante e' zero, ne segue $\Delta w = 0 - \Delta |x-y|^{2-n} = -(\partial_1^2|x-y|^{2-n}+\partial_2^2|x-y|^{2-n})$ Ora sappiamo $\partial_i |x|=x_i/|x|$ quindi con la regola della derivata di una funzione composta $\partial_1^2|x-y|^{2-n} = \partial_1(\partial_1 |x-y|^{2-n})= \partial_1[(2-n) |x-y|^{1-n}(x_1-y_1)/|x-y|]=\partial_1 [(2-n)|x-y|^{-n}(x_1-y_1)]=\partial_1(|x-y|^{-n})=-n|x-y|^{-n-1}(x_1-y_1)/|x-y|= -n|x-y|^{-n-2}(x_1-y_1)$ $\partial_2^2 |x-y|^{2-n}=-n|x-y|^{-n-2}(x_2-y_2)$ e quindi $\Delta w=-[-n|x-y|^{-n-2}(x_1-y_1+x_2-y_2)]$ e qui non capisco perche' deve essere $\leq 0$.

[coffee2]

Per avere $w\geq 0$ ti serve il fatto che $x\in\bar U$ implica $|x-y|\geq\cdots$, con l'uguaglianza che vale solo per un certo $x$.

[LucreziaL1]

Ma non credo che il secondo passaggio vada a destra